Encuentre $f$ si $f(x)\leq x$ y $f(x+y)\leq f(x)+f(y)$ para todos $x,~y\in \mathbb{R}.$

Question

Encuentra la fórmula de la función $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ si: $$f(x)\leq x$$ y $$f(x+y)\leq f(x)+f(y)$$ para todos $x,~y\in \mathbb{R}.$

Intento. Función de identidad $I(x)=x$ satisface las propiedades necesarias. Sospecho que es la única. En ese caso sólo tenemos que demostrar que $f(x)\geq x$ para todos $x$ . Sin embargo, en este punto, no podría utilizar la sulinealidad de $f$ para demostrar mi afirmación. Se agradece cualquier ayuda.

Gracias de antemano.

Answer 1

Siguiendo la útil pista de @Ingix, pongo una respuesta del ejercicio.

Desde $f(0)=f(0+0)\leq f(0)+f(0)$ obtenemos $f(0)\geq 0$ .

Desde $f(0)\leq 0$ por hipótesis, obtenemos $f(0)=0.$ Así que para todos $x$ : $$0=f(0)=f(x+(-x))\leq f(x)+f(-x),$$ Así que..: $$f(x)\geq -f(-x)\geq -(-x)=x.$$ Desde $f(x)\leq x$ por hipótesis, obtenemos $f(x)=x$ para todos $x.$