Geometría con círculo y triángulo.

Question

Cualquier otra solución(consejo) es bienvenida.
Lo que pregunto es esto porque estoy estudiando las matemáticas a través del proceso de retroalimentación de mi solución y el aprendizaje de nuevas soluciones.
Por favor, libera a Hold on.

¿Cuándo se resolverá la retención? Quiero ver sus nuevas soluciones(o consejos).

$\overline{AE}$ es un diámetro.
y $\overline{AB}=1,\;\;\; \overline{AC}=2$
y $\overline{BD}:\overline{CD}=3:2$

Encuentre el área de $\triangle ABC$ .

Answer 1

Aquí hay una solución completamente diferente basada en la trigonometría.

Desde el triángulo $ABD$ :

$$\frac{3x}{\sin\alpha}=\frac{l}{\sin(90^\circ-\beta)}\tag{1}$$

Desde el triángulo $ADC$ :

$$\frac{2x}{\sin\beta}=\frac{l}{\sin(90^\circ-\alpha)}\tag{2}$$

Desde el triángulo $ABC$ :

$$\frac{1}{\sin(90^\circ-\alpha)}=\frac{2}{\sin(90^\circ-\beta)}\tag{3}$$

Reescribe (1),(2)(3):

$$\frac{3x}{\sin\alpha}=\frac{l}{\cos\beta}\tag{4}$$

$$\frac{2x}{\sin\beta}=\frac{l}{\cos\alpha}\tag{5}$$

$$\cos\beta=2\cos\alpha\tag{6}$$

No nos importa $l$ Basta con dividir (4) entre (5) para eliminarlo:

$$\frac{3\sin\beta}{2\sin\alpha}=\frac{\cos\alpha}{\cos\beta}$$

$$3\sin\beta\cos\beta=2\sin\alpha\cos\alpha\tag{7}$$

Ahora tienes (6) y (7), dos ecuaciones con dos ángulos desconocidos. Divide (7) entre (6) y obtienes:

$$3\sin\beta=\sin\alpha\tag{8}$$

Ahora divide (6) por 2, eleva al cuadrado y añade a (8) al cuadrado para eliminar $\alpha$ :

$$9\sin^2\beta+\frac14\cos^2\beta=1$$

$$36\sin^2\beta+cos^2\beta=4$$

$$35\sin^2\beta=3$$

El resto es sencillo:

$$\sin\beta=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{35}}, \ \ \cos\beta=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{35}}$$

De (8):

$$\sin\alpha=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{35}}, \ \ \cos\alpha=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{35}}$$

Ahora:

$$S=\frac12 AB\cdot h=\frac12 \cdot 1 \cdot 2 \sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha+\beta)$$

$$S=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=\frac{2\sqrt{6}}{5}$$