El paseo aleatorio y la difusión de los límites de

Question

Imagina un largo y estrecho cilindro de radio r y un punto de partícula que se mueve en la región acotada por el cilindro. El movimiento se especifica de la siguiente manera: a partir de un punto en la pared interior del cilindro, elegir al azar una dirección y dejar que la partícula se mueve con velocidad constante hasta que llega a otro punto del cilindro. Una vez allí, elegir una nueva dirección al azar y repita el proceso. El problema es determinar la probabilidad de que la partícula se dará distancia desde el punto inicial en un momento dado en el futuro.

Me di cuenta de que t es difícil encontrar una probabilidad explícitamente, pero si el cilindro es muy estrecho y la partícula se mueve muy rápido (con una velocidad proporcional al recíproco de la radio) puede utilizar el teorema del límite central para obtener una explícita (Gauss) la aproximación. ¿Qué es la variación resultante de la ley normal? ¿Cómo funciona la varianza cambio si la sección transversal del tubo, es decir un cuadrado, en lugar de un círculo?

Alguien me puede ayudar aquí?

Answer 1

No está seguro de la CLT se aplica a todos los...

En el análogo de la dinámica en la dimensión $2$, la partícula se mueve en el plano de la $(x,y)$ rebote de ida y vuelta entre las paredes $y=0$$y=1$, la elección de un ángulo $t$ $(0,\pi)$ uniformemente al azar y obtener un desplazamiento $x=\cot t$. Esto implica que $P[|x|\geqslant u]\sim 2/(\pi u)$ al $u\to\infty$, por lo tanto $|x|$ no es integrable.

En la dimensión $3$, suponer sin pérdida de generalidad, que el cilindro tiene por ecuación $y^2+z^2=z$ en el sistema de coordenadas $(x,y,z)$ ($y=z=0$ es una línea en la superficie del cilindro y el diámetro es de $1$). A partir de $(0,0,0)$, la partícula se mueve a lo largo de la línea $x=r\cos t\cos s$, $y=r\cos t\sin s$, $z=r\sin t$, donde $t$ $s$ son independientes y uniforme en $(0,\pi)$. La longitud de los desplazamientos hasta la partícula golpea el cilindro de nuevo es $r=\sin t/(\sin^2t+\cos^2t\sin^2s)$, para una distancia a lo largo de la $x$-eje de $|x|=r\cos t\cos s=\sin t\cos t\cos s/(\sin^2t+\cos^2t\sin^2s)$.

Ahora, $|x|$ es grande cuando $(t,s)\to(0,0)$, y, a continuación,$|x|\sim t/(t^2+s^2)$. Usando coordenadas polares para $(t,s)$, es decir, la introducción de $(\varrho,\alpha)$ tal que $t=\varrho\cos\alpha$, $s=\varrho\sin\alpha$, uno se $|x|\sim \cos\alpha/\varrho$. Por lo tanto, $P[|x|\geqslant u\mid\alpha]\sim C\int\limits_0^{\cos\alpha/u}\varrho\mathrm d\varrho=C\cos^2\alpha/u^2$ $P[x\geqslant u]\sim C/u^2$ al $u\to\infty$, donde las diversas apariciones de $C$ son absolutos constantes cuyo valor puede variar de una línea a otra. En particular, $|x|$ no es cuadrado integrable.

Parece que para que un cilindro en $\mathbb R^{d+1}$, cuya sección es una bola en $\mathbb R^d$, el desplazamiento $|x|$ en un solo paso es tal que $E[|x|^\nu]$ es finito si y sólo si $\nu\lt d$. En particular, sería de esperar CLT para los cilindros en la dimensión de al menos $d+1=4$.