Atrapado intentando probar la conservación de la energía.

Question

Algunas notas. He estado jugando un poco con la "Mecánica Clásica Lite" para obtener una mejor comprensión de exactamente lo que está sucediendo en términos de las leyes de conservación, las simetrías, y el aparentemente derivado-como la relación entre el momento lineal $\mathbf p = m \mathbf v$ y la energía cinética $T = \frac{1}{2} m \dot{\mathbf x} \cdot \dot{\mathbf x}$. La razón por la que estoy llamando a esto "de la Mecánica Clásica Lite" es debido a que estoy trabajando en los siguientes supuestos:

• Las coordenadas $x_i$ son coordenadas Cartesianas (no generalizada coordenadas).
• Ya que no hay coordinar curviture, no estoy preocuparse de distinguir covariante y contravariante índices, como se hace en los usuales de la Mecánica Clásica.
• Energía cinética $T$ es estrictamente una función de las variables de velocidad de $\dot x_i$ (de nuevo, porque no hay ninguna curvatura en las coordenadas).
• La energía potencial $U$ es estrictamente una función de la posición de las variables de $x_i$ (no estoy preocuparse complicado potenciales como el de la fuerza de Lorentz).

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He aquí lo que he encontrado hasta ahora.

• El $i$ésima componente de la fuerza neta $m\ddot x_i$ puede ser escrito en términos de la energía cinética $T= \frac{1}{2} m \dot{\mathbf x} \cdot \dot{\mathbf x}$ en dos maneras. Mi sensación es que cada una de estas representaciones de los rendimientos de una ley de la conservación en las condiciones adecuadas. $$\displaystyle m\ddot x_i = \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot x_i} \right) \label{1}\tag{1}$$ $$\displaystyle m\ddot x_i = \frac{\partial}{\partial \dot x_i} \left( \frac{dT}{dt} \right) \label{2}\tag{2}$$
• Suponiendo que solo estamos preocupados acerca de las fuerzas conservadoras, entonces, por definición de la energía potencial $U$, tenemos $m \ddot{\mathbf x} = - \mathbf \nabla U$, por lo que $$ m\ddot x_i = -\frac{\partial U}{\partial x_i} \label{3}\tag{3}.$$
• La combinación de las ecuaciones de $\ref 1$ e $\ref 3$ da de conservación de momentum $p_i = \partial T / \partial \dot x_i$ cuando $-\partial U / \partial x_i = 0$, como se esperaba. Esto explica la derivada de la relación entre el impulso y la energía cinética. $$0 = - \frac{\partial U}{\partial x_i} = \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot x_i} \right) \Rightarrow \boxed{p_i = \frac{\partial T}{\partial \dot x_i} \text{ is conserved}}$$
• La combinación de las ecuaciones de $\ref 2$ e $\ref 3$ casi dar la conservación de la energía en general. $$-\frac{\partial U}{\partial x_i} = \frac{\partial}{\partial \dot x_i} \left( \frac{dT}{dt} \right)$$ $$0 = \frac{\partial}{\partial \dot x_i} \left( \frac{dT}{dt} \right) + \frac{\partial U}{\partial x_i}$$ $$0 = \frac{\partial}{\partial \dot x_i} \left( \frac{dT}{dt} \right) + \frac{\partial}{\partial \dot x_i} \left( \frac{\partial U}{\partial x_k} \dot x_k \right)$$ $$0 = \frac{\partial}{\partial \dot x_i} \left( \frac{dT}{dt} \right) + \frac{\partial}{\partial \dot x_i} \left( \frac{dU}{dt} \right)$$ $$0 = \frac{\partial}{\partial \dot x_i} \left[ \frac{d}{dt} (T+U) \right] \label{4}\tag{4}$$ $$\text{(this is where I get stuck)}$$

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A mi pregunta. Más allá de la ecuación de $\ref 4$, estoy esperando a encontrar a $\frac{d}{dt} (T+U) = 0$, lo que implicaría que $T+U$ se conserva. Sin embargo, esto no se deducen directamente, incluso si se toma para ser cierto para todos los $i$s, ya que podría ser posible encontrar una función de $f$ tales que $$\frac{d}{dt}(T+U) = f(x,\ddot x,\dddot x, \ldots),$$ donde $x$ represnts todos los de la $x_i$s, $\ddot x$ representa a todos los $\ddot x_i$s, etc, y aún así tener la relación en la ecuación de $\ref 4$ satisfecho. Qué otra suposición (idealmente arraigada en algún tipo de principio físico o de la intuición) tendría que ser tomada con el fin de deducir la conservación de la energía $T+U$? Me siento como claramente suponiendo que $f = 0$ es demasiado grande de un salto, y no se basa en ningún tipo de principio físico o de la intuición.

Answer 1

Tal vez yo no estoy viendo el problema, con mucho gusto le elimine este si que es el caso, pero no es necesario suponer nada adicional. Si usted utiliza su Eq. (3) esto es lo que usted consigue

$$ \frac{{\rm d}}{{\rm d}t}(T + U) = m \ddot{x}_k \dot{x_k} + \frac{\partial U}{\partial x_k}\dot{x}_k = \left[ m\ddot{x}_k - m\ddot{x}_k \right]\dot{x}_k = 0 $$

Así Eq. (4) es sólo un trivial $0 = 0$, lo cual es totalmente coherente

Answer 2

Por desgracia, has cometido un error fatal en el primer paso! Es malo para el intercambio de las $d/dt$ e $\partial / \partial \dot{x}_i$. Esto da lugar a absurdos, como en esta pregunta donde el OP concluye de Euler-Lagrange ecuación es trivial. Este punto no se explica bien en la mayoría de los libros de texto; para una pregunta relacionada con la ver aquí. Voy a explicar por qué brevemente, a continuación, mostrar una derivación como la tuya las que trabaja.

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En su configuración, $T$ es una función de las dos variables independientes $q$ e $\dot{q}$, con ninguna explícita la dependencia en el tiempo. Para tomar un tiempo de derivada, debe restringir a un específico ruta $$q(t) = \gamma(t), \quad \dot{q}(t) = \frac{d\gamma(t)}{dt}.$$ En otras palabras, el tiempo derivativo realmente significa $$\frac{dT}{dt} \equiv \frac{d}{dt} T\left( \gamma(t), \frac{d\gamma(t)}{dt} \right).$$ A continuación, $dT/dt$ es solamente una función de $t$ y el camino de $\gamma$. No se trata de una función de $q$ e $\dot{q}$, por lo que tomar la derivada parcial con respecto a $\dot{q}$ no tiene ningún sentido. Las manipulaciones previas a la ecuación (4) del mismo modo, no tiene sentido.

Una gran parte de la confusión es que, usualmente, el camino de $\gamma(t)$ escrito $q(t)$, por lo que una función de una ruta de $q(t)$ ve por desgracia similar a una función de las variables de $q$ e $\dot{q}$. Para agravar la confusión, el Lagrangiano también puede tener dependencia directa $t$ (además de a $q$ e $\dot{q}$), pero esto aún no es el mismo dependiendo de la ruta de $q(t)$. Es un gran lío en el que está confundido a muchos estudiantes.

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Aquí está una manera diferente de hacerlo, que se mantiene fiel al espíritu de su derivación. Por la regla de la cadena, $$\frac{dE}{dt} = \frac{\partial T}{\partial \dot{q}} \frac{d \dot{q}}{dt} + \frac{\partial U}{\partial q} \frac{dq}{dt}.$$ Ahora, la aplicación de la ecuación de movimiento $$\frac{d}{dt} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}} = - \frac{\partial U}{\partial q}$$ tenemos $$\frac{dE}{dt} = \ddot{q} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}} - \dot{q} \frac{d}{dt} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}}.$$ Sin embargo, debido a $T$ es sólo una función de $\dot{q}$, por lo que es $\partial T / \partial \dot{q}$, por lo que por la regla de la cadena de nuevo, $$\frac{dE}{dt} = \ddot{q} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}} - \dot{q} \frac{d\dot{q}}{dt} \frac{\partial}{\partial \dot{q}} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}} = \ddot{q} \left(1 - \dot{q} \frac{\partial}{\partial \dot{q}} \right) \frac{\partial T}{\partial \dot{q}}.$$ Sin embargo, debido a $T$ es de segundo grado en $\dot{q}$, $\partial T / \partial \dot{q}$ es lineal en $\dot{q}$. Eso significa que la diferenciación con respecto a $\dot{q}$ y luego multiplicando por $\dot{q}$ nuevo no hace nada, por lo $dE/dt = 0$ como se desee.

Por supuesto, como la existente respuesta, dice, sería mucho más rápido para conseguir este resultado, si hemos usado el hecho de que $T$ fue cuadrática desde el principio, pero pensé que usted quería una derivación que utiliza algunas de las derivadas parciales de la maquinaria.