Demuestre que$n! > n^{3}$ para cada entero$n \ge 6$ usando inducción

Question

Prueba.

El caso Base. Cuando $n = 6$, LHS = $6! = 720$ y RHS = $6^{3} = 216$. Por lo tanto LHS > HR.

Inductivo paso. Suponga que $m! > m^{3}$ para algunos fijos entero $m$ tal que $m \ge 6$. Debemos demostrar que vale también para $(m+1)$, yo.e, $(m+1)! > (m+1)^{3}$. Observar que

\begin{align*} (m+1)! &= (m+1) \cdot m! \\ &> (m+1) \cdot m^{3} \text{%#%#%(by the inductive hypothesis)}\\ \end{align*}

(aún sin terminar)

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Sé que todo se reduce a mostrar que la $\quad$ pero no estoy seguro de cómo proceder.

Answer 1

Si usted desea mostrar a $(m+1)\cdot m^3>(m+1)^3$, esto es equivalente a

$$m^3>(m+1)^2.$$

Como $m>2$, esto es implícita por

$$2m^2>(m+1)^2,$$

que es equivalente a

$$m^2>2m+1$$

o

$$(m-1)^2>2,$$

lo cual es cierto si $m\geq 3$.

(Tenga en cuenta que si usted fuera a escribir esto sería más claro si usted comenzó $(m-1)^2>2$, que usted sabe que es verdad, y se teje de ida a $m^3>(m+1)^2$ -- esta valoración crítica sirve para ayudar a dejar en claro cómo se podría venir para arriba con esto.)