Prueba de: Si$P(A) = P(B) = 1$ entonces$P(A \cap B) = 1$.

Question

Ok, entonces sé que esto es obviamente cierto, pero no estoy seguro si mi método es correcto para probarlo. Aquí está mi marcha.

$P(A\cap B)= P(A) \cdot P(B)$ por definición.

$P(A)=P(B)=1$

Por lo tanto, $1\cdot 1=1$ para $P(A\cap B)=1$

Me doy cuenta de que esta es una pregunta realmente simple pero esta respuesta parece demasiado fácil.

Gracias

Answer 1

Bueno, no puede decir $P(A\cap B)= P(A) \cdot P(B)$ porque no sabe si $A$ y $B$ son independientes. De todos modos, podrías decir $$P(A\cap B) = 1-P((A\cap B)^c)=1-P(A^c \cup B^c) \geq 1-(P(A^c)+ P(B^c))= 1-(0+0)=1$ $

Answer 2

Tenga en cuenta que $A\subset A\cup B$ y $B\subset A\cup B$ implica $P(A\cup B)\geq P(A)$ y $P(A\cup B)\geq P(B)$ . Entonces $P(A\cup B)=1$ . Por inclusión - principio de exclusión $$ P (A \ cup B) = P (A) + P (B) -P (A \ cap B). $$ Entonces $$ 1 = 1 +1-P (A \ cap B). $$

Answer 3

Comenzamos con $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$ Desde $P(A)=P(B)=1$, podemos arreglar esto como $$P(A\cap B)=2-P(A\cup B)$$ Mientras no lleguemos a saber $P(A\cup B)$, sabemos que $P(A\cup B)\le 1$ (lo que sucede con todas las probabilidades), y, por tanto, $$P(A\cap B)\ge 2-1=1$$ Ya que también se $P(A\cap B)\le 1$ (lo que sucede con todas las probabilidades), podemos estar seguros de que $P(A\cap B)=1$.

Answer 4

$P(A|B)=\frac{P(A \bigcap B)}{P(B)}$ , por lo tanto, $P(A \bigcap B)=P(A|B)P(B)$ .

Si $P(A)=1$ , entonces eso significa que $A$ siempre sucede, por lo que siempre ocurrirá cuando $B$ sucede, por lo que $P(A|B)=1$ . Desde $P(B)=1$ , $P(A \bigcap B)=1$ .