para probar esta desigualdad$\sum a^3b+3\ge 2(ab+bc+ca)$

Question

deje $a,b,c>0$ y tal $a+b+c=3$,muestran que $$a^3b+b^3c+c^3a+3\ge 2(ab+bc+ac)$$

Este problema es de mi pregunta cuando $n=3$ caso,me encontré con que no demostrarlo. mostrar esta desigualdad con $\sum_{i=1}^{n}a_{i}=n$

He intente usar AM-GM desde $$\sum (a^3b+ab)\ge 2\sum a^2b$$

Answer 1

Tenemos que demostrar que $$27(a^3b+b^3c+c^3a)+(a+b+c)^4\geq6(ab+ac+bc)(a+b+c)^2.$$

Deje $a=\min\{a,b,c\}$, $b=a+u$ e $c=a+v$.

Así, por AM-GM $$27(a^3b+b^3c+c^3a)+(a+b+c)^4-6(ab+ac+bc)(a+b+c)^2=45(u^2-uv+v^2)a^2+$$ $$+9(3u^3+5u^2v-4uv^2+3v^3)a+u^4+25u^3v-6u^2v^2-2uv^3+v^4\geq$$ $$\geq25u^3v-8u^2v^2+\frac{1}{2}v^4+2u^2v^2-2uv^3+\frac{1}{2}v^4=$$ $$=\frac{v}{2}\left(25u^3+25u^3+v^3-16u^2v\right)+v^2\left(2u^2+\frac{1}{2}v^2-2uv\right)\geq$$ $$\geq\frac{v}{2}\left(3\sqrt[3]{\left(25u^3\right)^2v^3}-16u^2v\right)+v^2\left(2\sqrt{2u^2\cdot\frac{1}{2}v^2}-2uv\right)=\frac{u^2v^2}{2}\left(3\sqrt[3]{625}-16\right)\geq0.$$ Otra prueba.

Deje $a+b+c=3u$, $ab+ac+bc=3v^2$, $abc=w^3$ e $u^2=tv^2.$

Por lo tanto, $t\geq1$ y tenemos que demostrar que $$\sum_{cyc}2a^3b+6u^4\geq12u^2v^2$$o $$\sum_{cyc}(a^3b+a^3c)+6u^4-12u^2v^2\geq\sum_{cyc}(a^3c-a^3b)$$o $$27u^2v^2-18v^4-3uw^3+6u^4-12u^2v^2\geq(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)$$o $$2u^4+5u^2v^2-6v^4-uw^3\geq u(a-b)(b-c)(c-a)$$ and since $$2u^4+5u^2v^2-6v^4-uw^3\geq0,$$ es suficiente para probar que $$(2u^4+5u^2v^2-6v^4-uw^3)^2\geq u^2(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2$$o $$(2u^4+5u^2v^2-6v^4-uw^3)^2\geq27u^2(3u^2v^4-4v^6-4u^3w^3+6uv^2w^3-w^6)$$o $$7u^2w^6+(26u^4-43u^2v^2+3v^4)uw^3+u^8+5u^6v^2-20u^4v^4+12u^2v^6+9v^8\geq0.$$ Ahora, ya $$u^8+5u^6v^2-20u^4v^4+12u^2v^6+9v^8=v^8(t^4+5t^3-20t^2+12t+9)=$$ $$=v^8\left(\left(\frac{t^2}{4}+2t\right)(2t-3)^2+\frac{1}{4}(7t^2-24t+36)\right)\geq0,$$ es suficiente para demostrar la desigualdad de la $26t^2-43t+3\leq0,$ para el que es suficiente para probar que $$(26t^2-43t+3)^2-28(t^4+5t^3-20t^2+12t+9)\leq0$$o $$(t-1)^2(9+40t-24t^2)\geq0,$$ , lo cual es cierto porque $$9+40t-24t^2=9+40t+\frac{24}{26}\left(-26t^2\right)\geq9+40t+\frac{24}{26}\left(3-43t\right)>0.$$ Hecho!