¿Puedes expresar este teorema fácil en términos categóricos de fantasía?

Question

Aquí es un teorema (de álgebra homológica):

Dado $A \rightarrow B \rightarrow C$ en un abelian categoría $\mathcal{A}$.

Si para todas las $D \in \mathcal{A}$ tenemos que $Hom(D,A) \rightarrow Hom(D,B) \rightarrow Hom(D,C)$ is an exact sequence, then $Un \rightarrow B \rightarrow C$ es una secuencia exacta.

Este es un buen teorema que se siente como esto se puede expresar diciendo que en algún representable functor es exacta, o fieles, o de un generador.

Traté de que el uso de un aditivo functor es fiel iff envía nonexact secuencias de nonexact secuencias, pero aún no ha llegado a algo.

Answer 1

Voy a tener que ir con @Malicia en este.

• Recordemos que un functor $F$ es "representable" precisamente cuando $F ≅ \mathsf{Hom}(D,-)$ por algún objeto $D$.

• Recordar que un functor $F$ "refleja una propiedad $P$" precisamente cuando $P(X) \;⇐\; P(F\, X)$ para todos los $X$.

  ( Esta' a la inversa de conservación de los bienes. )

• Recordemos que una familia de functors consta de un functor $Fᵢ$ para cada una de las $i$ en algunas conjunto de índices $I$.

• Recordemos que una familia $Fᵢ$ "conjuntamente refleja propiedad $P$" precisamente cuando $P(X) \;⇐\; (∀ i.\; P(Fᵢ \, x))$ para todos los $X$.

Ahora tu frase puede ser declarada de forma compacta,

"Representables conjuntamente reflejan exacta ternario secuencias"

Neato!