Una identidad en$\small{}_pF_q\left(\left.\begin{array}{c} a_1+1,a_2+1,\dots ,a_p+1\\ b_1+1,b_2+1,\dots ,b_q+1\end{array}\right| z\right)$

Question

Me topé con esta relación, mientras que tratando de responder a este post. Yo estaba tratando de encontrar una relación entre los dos hipergeométrica generalizada funciones,

$$A=\,_3F_2\left(\color{blue}{\tfrac12,\tfrac12},\tfrac12;\color{red}{\tfrac32,\tfrac32};\color{fuchsia}{\tfrac12}\right)$$

$$B=\,_3F_2\left(\tfrac32,\tfrac32,\tfrac32;\tfrac52,\tfrac52;\tfrac12\right)$$

Parece,

$$A+\tfrac1{18}B = \,_2F_1\left(\tfrac12,\tfrac12;\tfrac32;\tfrac12\right) =\frac{\pi}{2\sqrt2}$$

Tenga en cuenta que a partir de una $_3F_2$, la suma se reduce a una $_2F_1$, e $\tfrac1{18}= \color{blue}{\tfrac12\tfrac12} \color{red}{\tfrac23\tfrac23} \color{fuchsia}{\tfrac12} $.

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Pregunta: En general, vamos a

$$p=q+1\\c_n = a_n+1\\d_n = b_n+1$$

donde $a_n, b_n$ son arbitrarias, pero el último par debe satisty $a_p+1=b_q$. Es cierto que,

$$ {}_pF_q\left(\left.\begin{array}{c} a_1,a_2,\dots ,a_p\\ b_1,b_2,\dots ,b_q \end{array}\right| z\right)+z\,\frac{a_1a_2\dots a_{p-1}}{b_1b_2\dots b_q}{}_pF_q\left(\left.\begin{array}{c} c_1,c_2,\dots ,c_p\\ d_1,d_2,\dots ,d_q \end{array}\right| z\right)\\={}_{p-1}F_{q-1}\left(\left.\begin{array}{c} a_1,a_2,\dots ,a_{p-1}\\ b_1,b_2,\dots ,b_{q-1} \end{array}\right| z\right)\\ {} \\ $$

(Nota: El par $a_p,b_q$ desaparece en el $\text{RHS}$.)

Answer 1

Se utiliza por primera vez la diferenciación de la fórmula para la función hipergeométrica generalizada \begin{equation} \frac{a_1a_2\dots a_{p}}{b_1b_2\dots b_q}{}_pF_q\left(\left.\begin{array}{c} c_1,c_2,\dots ,c_p\\ d_1,d_2,\dots ,d_q \end{array}\right| z\right)=\frac{d}{dz}{}_pF_q\left(\left.\begin{array}{c} a_1,a_2,\dots ,a_p\\ b_1,b_2,\dots ,b_q \end{array}\right| z\right) \end{equation} A continuación, el lado izquierdo de la propuesta de identidad puede ser escrito como \begin{equation} _pF_q\left(\left.\begin{array}{c} a_1,a_2,\dots ,a_p\\ b_1,b_2,\dots ,b_q \end{array}\right| z\right)+z\,\frac{a_1a_2\dots a_{p-1}}{b_1b_2\dots b_q}{}_pF_q\left(\left.\begin{array}{c} c_1,c_2,\dots ,c_p\\ d_1,d_2,\dots ,d_q \end{array}\right| z\right)=\left( 1+\frac{z}{a_p}\frac{d}{dz} \right){} _pF_q\left(\left.\begin{array}{c} a_1,a_2,\dots ,a_p\\ b_1,b_2,\dots ,b_q \end{array}\right| z\right)\etiqueta{1}\label{eq1} \end{equation} Para diferenciar la función hipergeométrica, utilizamos el de Euler de transformación integral \begin{align} & _pF_q\left(\left.\begin{array}{c} a_1,a_2,\dots ,a_p\\ b_1,b_2,\dots ,b_q \end{array}\right| z\right)\\ &=\frac{\Gamma(b_q)}{\Gamma(a_p)\Gamma(b_q-b_p)} \int_0^1^{a_p-1}\left( 1-t \right)^{b_q-a_p-1}{}_{p-1}F_{q-1}\left(\left.\begin{array}{c} a_1,a_2,\dots ,a_{p-1}\\ b_1,b_2,\dots ,b_{q-1} \end{array}\right| t\right)\,dt \end{align} Aquí $b_q=a_p+1$, luego \begin{align} _pF_q\left(\left.\begin{array}{c} a_1,a_2,\dots ,a_p\\ b_1,b_2,\dots ,b_q \end{array}\right| z\right)&= a_p \int_0^1^{a_p-1}{}_{p-1}F_{q-1}\left(\left.\begin{array}{c} a_1,a_2,\dots ,a_{p-1}\\ b_1,b_2,\dots ,b_{q-1} \end{array}\right| zt\right)\,dt\\ &=\frac{a_p}{z^{a_p}} \int_0^zu^{a_p-1}{}_{p-1}F_{q-1}\left(\left.\begin{array}{c} a_1,a_2,\dots ,a_{p-1}\\ b_1,b_2,\dots ,b_{q-1} \end{array}\right| u\right)\,du \end{align} Entonces \begin{align} \frac{d}{dz}&\,{} _pF_q\left(\left.\begin{array}{c} a_1,a_2,\dots ,a_p\\ b_1,b_2,\dots ,b_q \end{array}\right| z\right)\\ &=\frac{a_p}{z}\,{}_{p-1}F_{q-1}\left(\left.\begin{array}{c} a_1,a_2,\dots ,a_{p-1}\\ b_1,b_2,\dots ,b_{q-1} \end{array}\right| z\right)-\frac{a_p}{z} \,{}_pF_q\left(\left.\begin{array}{c} a_1,a_2,\dots ,a_p\\ b_1,b_2,\dots ,b_q \end{array}\right| z\right) \end{align} Conectar esta expresión en la ecuación. \eqref{eq1} encontramos theRHS de la propuesta de identidad.