Sea k un entero. Refutar: "La ecuación$x^2 − x − k = 0$ no tiene solución entera si y solo si$k$ es impar".

Question

Mi problema es que mantener terminan demostrando la afirmación verdadera, en lugar de refutar. Yo era conseguir que se mezclan en mi mente así que me rompió hacia abajo en muy explícito pasos, pero ahora me pregunto si estoy overthinking?

Empecé probando que si no hay ningún número entero solución, entonces k es incluso (una negación de la declaración, $P$ e no $Q$ donde $P = \text{ no integer solution and } Q = k \text{ is odd}$). Por contrapositivo trato de demostrar que si $k$ es impar, entonces existe un número entero solución (que rápidamente reconoció este es el mismo que el de otros negación, $Q$ e no $P$, así que esta es la única cosa que tengo que probar).

Por lo $k = 2n + 1$ para cualquier entero $n$. A continuación, $x^2-x -(2n+1) = 0$. Por lo $x^2-x=2n+1$. Pero si $x$ es un número entero, a continuación, $x^2-x$ siempre debe ser par, y no igual a un número entero impar $2n+1$. Eso nos ha llevado a una contradicción, lo cual significa que me lo acaba de probar que si k es impar, entonces no hay ningún número entero solución.

Es mi lógica en algún lugar, o debería estar acercándose a él de manera diferente? Lo siento si esto tiene una respuesta obvia, sólo he empezado a hacer pruebas de este trimestre. Gracias

Answer 1

Usted parece estar luchando con la lógica involucrada aquí. La declaración es $$ k\text{ es impar}\iff x^2-x-k=0\text{ no tiene entero soluciones} $$ Sí, parece que la fabricación de $k$ extraño hace que la ecuación no tiene entero de soluciones (en otras palabras, el $\implies$ dirección es cierto). La prueba de esto se ve bien.

Sin embargo, la declaración también afirma que si no hay ningún número entero de soluciones, a continuación, $k$ es impar (la $\Longleftarrow$ dirección). El contrapositivo de esta afirmación es que la fabricación de $k$ será siempre el resultado de un entero solución. Esto es refutado por la prestación de un solo contraejemplo.

Answer 2

Sugerencia:

$x^2-x-k=0 \Rightarrow x=\frac{1 \pm \sqrt{4k+1}}{2}$

Por lo $x$ sólo puede ser un número entero si $4k+1$ es el cuadrado de un número impar.

Esto es cierto cuando se $k=2$, en cuyo caso $\sqrt{4k+1}=3$, y cuando se $k=6$, en cuyo caso $\sqrt{4k+1}=5$.

Pero ¿qué pasa cuando $k=4$ ?

Answer 3

Supongamos que la ecuación tiene soluciones enteras, por lo que $ x \in Z $

$x^2-x = k$

$x (x-1) = k$

$x-1$ y $x$ son dos números enteros consecutivos, su producto es incluso $\Rightarrow k$ es par