Probar una desigualdad en tres variables

Question

Pensé que la siguiente desigualdad, que se va a demostrar, sería una simple aplicación de las conocidas desigualdades $||x|-|y|| \leq |x-y|$ y $||x|-|y|| \leq |x+y|$ pero, si lo es, después de una hora de garabatos no consigo avanzar en absoluto. A continuación está la desigualdad que hay que demostrar, para $x, y, z, \in \mathbb{R}$

$||x|-|y+z|| \leq ||x|-|y||+|z|$

Para los interesados, el problema está tomado de la página 5 de Análisis Matemático: Funciones de una variable, de M. Giaquinta y G. Modica

Answer 1

En primer lugar, sumando y restando $|y|$ y utilizando la desigualdad del triángulo, obtenemos $$ ||x|-|y+z||=||x|-|y|+|y|-|y+z||\leq ||x|-|y||+||y|-|y+z||$$ y luego utilizando la desigualdad $$||a|-|b||\leq |a-b|$$ con $a=y$ y $b=y+z$ obtenemos $$||x|-|y||+||y|-|y+z||\leq ||x|-|y||+|z|$$

Answer 2

Tenemos

$$|x|-\underbrace{|y+z|}_{\ge \big||y|-|z|\big|} \le |x|-\underbrace{\big||y|-|z|\big|}_{\ge |y| - |z|} \le \underbrace{|x| - |y|}_{\le \big||x| - |y|\big|} + |z| \le \big||x| - |y|\big| + |z|$$

Por otro lado

$$|x|-\underbrace{|y+z|}_{\le |y| + |z|} \ge \underbrace{|x|- |y|}_{\ge -\big||x|- |y|\big|}-|z|\ge - \big||x|- |y|\big| - |z|$$

Por lo tanto,

$$- \big||x|- |y|\big| - |z| \le |x| - |y+z| \le \big||x| - |y|\big| + |z|$$

lo que implica $$\big| |x| - |y+z|\big| \le \big||x| - |y|\big| + |z|$$

Answer 3

Dejemos que $\; w:=-y-z,\; a:=|x|-|w|,\; b:=|x|-|y|.\;$ Utilizando la desigualdad del triángulo invertido dos veces se obtiene $\; |a| - |b| \le ||a| - |b| | \le | a-b | = | |y|-|w| | \le |y+w| = |-z| = |z|.\;$ Esto es $\;|a| \le |b|+|z|.\;$ Sustituyendo por $\;a,b\;$ da $\; ||x|-|w|| = ||x| - |y+z| | \le ||x|-|y|| + |z| \;$ que es nuestro resultado.