¿Importa el orden en la intersección de conjuntos?

Question

Se me pide que demuestre lo siguiente: $$A\setminus(B\cup C)=(A\setminus B)\cap(A\setminus C)$$

Para ello, debo demostrar que todos los elementos del lado izquierdo existen en el lado derecho y viceversa. Es decir, $$\forall x\in A\setminus(B\cup C),\, x\in(A\setminus B)\cap(A\setminus C),$$ y, $$\forall x\in(A\setminus B)\cap(A\setminus C),\, x\in A\setminus(B\cup C).$$

Primero intenté demostrar lo primero. Dejemos que $x\in A\setminus(B\cup C)$ . Por lo tanto, $x\in A\cap(B\cup C)'$ . Según las leyes de De Morgan, esto equivale a $A\cap(B'\cap C')$ . Llegados a este punto, estoy tentado de hacer lo siguiente. Dado que $A\cap A=A$ Me gustaría reescribir $A\cap(B'\cap C')$ como $A\cap A\cap B'\cap C'$ y luego reordenar esta expresión en $A\cap B'\cap A\cap C'$ , de tal manera que $x\in (A\setminus B)\cap(A\setminus C)$ . Sin embargo, no estoy seguro de si $A\cap A\cap B'\cap C$ equivale a $A\cap B'\cap A\cap C'$ . De ahí la pregunta:

¿Importa el orden en la intersección de conjuntos? ¿Es $A\cap B\cap C=C\cap A\cap B=B\cap A\cap C$ ¿ y así sucesivamente?

Answer 1

No, el orden no importa. Esto se puede demostrar demostrando que $$A\cap B=B\cap A$$ Lo cual es bastante trivial, ya que $$A\cap B=\{x|x\in A \land x\in B\}$$ $$B\cap A=\{x|x\in B \land x\in A\}$$ y como "y" es conmutativo, es decir, si $S_1$ y $S_2$ son declaraciones, $$S_1 \land S_2\iff S_2\land S_1$$ Se puede decir que $$A\cap B=\{x|x\in A \land x\in B\}=\{x|x\in B \land x\in A\}=B\cap A$$ Lo que demuestra la conmutatividad. La asociatividad se puede demostrar de forma similar.