Prueba de que$\sum\limits_{i=1}^n \cos \sqrt{i}$ es ilimitado.

Question

Por favor, aconseje cómo probar que$\sum\limits_{i=1}^n \cos \sqrt{i}$ no tiene límites. Con esto quiero decir que no existe un% real positivo $B$tal que para cualquier% natural $n$ $$-B <\sum\limits_{i=1}^n \cos \sqrt{i} < B$$

UPD: parece que la suma no está delimitada (se sigue de la fórmula de Euler-Maclaurin), por lo que parece que solo es necesario completar los detalles.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$ (-1) ^ n \ cos (x) \ ge \ frac12 \ quad \ text {on} \ quad \ left [n \ pi- \ frac \ pi3, n \ pi + \ frac \ pi3 \ right] $$ Además, $$ \ left (n \ pi + \ frac \ pi3 \ right) ^ 2- \ left (n \ pi- \ frac \ pi3 \ right) ^ 2 = \ frac {4 \ pi ^ 2n} {3 } $$ Por lo tanto, si permitimos que$a_n=\left\lceil\left(n\pi-\frac\pi3\right)^2\right\rceil$ y$b_n=\left\lfloor\left(n\pi+\frac\pi3\right)^2\right\rfloor$, entonces $$ (-1) ^ n \ sum_ {k = a_n} ^ {b_n} \ cos (\ sqrt {k}) \ ge \ frac {2 \ pi ^ 2n} {3} - \ frac12 $$ Cuando una secuencia cambia en$\frac{2\pi^2n}{3}-\frac12$, arriba o abajo, ya sea antes o después, su valor absoluto debe haber sido al menos$\frac{\pi^2n}{3}-\frac14$.

Answer 2

Dada cualquier función suave $f(x)$ definido a lo largo del $(1 - \epsilon,\infty)$, podemos reescribir su suma parcial sobre $\mathbb{Z}_{+}$ como una de Riemann-Stieltjes integral:

$$\sum_{k=1}^n f(k) = \int_{1^{-}}^{n^{+}} f(x) d\lfloor x \rfloor \tag{*1}$$

Deje $\;B_n(x)\;$ $n^{th}$ Bernoulli polinomio y $\;P_n(x) = B_n(\{x\})\;$, sabemos

$$\lfloor x \rfloor = x - \{ x \} = x - \frac12 - B_1(\{x\}) = x - \frac12 - P_n(x)$$

y $P_n$ satisface la relación $P'_n(x) = n P_{n-1}(x)$$n > 1$.

Con ellas, se puede transformar RHS de $(*1)$ por una repetición de la integración por partes.

$$\begin{align} \sum_{k=1}^n f(k) = & \int_{1}^{n} f(x) dx - \int_{1^{-}}^{n+} f(x) dP_1(x)\\ = & \int_{1}^{n} f(x) dx - \bigg[ f(x) P_1(x) \bigg]_{1^{-}}^{n^{+}} + \frac12 \int_1^n f'(x) dP_2(x)\\ = & \int_{1}^n f(x) dx - \bigg[ f(x) P_1(x) - \frac12 f'(x) P_2(x) \bigg]_{1^{-}}^{n^{+}} - \frac{1}{3!} \int_1^n f''(x) dP_3(x)\\ \vdots &\\ = & \int_{1}^n f(x) dx + \underbrace{\frac12 (f(1) + f(n) ) + \sum_{k=1}^{p}\frac{B_{2k}}{(2k)!}\bigg[f^{(2k-1)}(x)\bigg]_1^n}_{C_{n,p}} + R_{n,p} \end{align} $$

La última línea es la famosa de Euler-Maclaurin de la fórmula y el término de error $R_{n,p}$ tiene la forma: $$ R_{n,p} = -\frac{1}{(2p)!} \int_1^n f^{(2)}(x) P_{2}(x) dx = \frac{1}{(2p+1)!} \int_1^n f^{(2p+1)}(x) P_{2p+1}(x) dx \etiqueta{*2} $$

Para nuestro problema, $f(x) = \cos\sqrt{x}$. Sólo tenemos que mantener la expansión hasta el $p = 1$. Tenemos

$$\begin{align} \int_1^n f(x) dx &= 2\sqrt{n} \sin\sqrt{n} +2 \cos\sqrt{n}- 2(\sin 1 + \cos 1)\\ C_{n,1} &= \frac12(\cos\sqrt{n} + \cos 1) -\frac{1}{24}\left( \frac{\sin\sqrt{n}}{\sqrt{n}} - \sin 1\right) \end{align}$$

Para el término de error $R_{n,1}$, vamos a utilizar la segunda forma en $(*2)$.
Deje $K = \sup\limits_{0 \le x \le 1}|P_3(x)| = \frac{1}{12\sqrt{3}}$, tenemos

$$\begin{align}|R_{n,1}| &= \frac{1}{3!}\left|\int_1^n \left( \frac{\sin\sqrt{x}}{8 x^{3/2}} + \frac{3\cos\sqrt{x}}{8 x^2} -\frac{3\sin\sqrt{x}}{8 x^{5/2}} \right) P_3(x) dx\right|\\ &\le \frac{K}{6}\int_1^n \left( \frac{1}{8 x^{3/2}} + \frac{3}{8 x^2} +\frac{3}{8 x^{5/2}} \right) dx\\ &\le \frac{K}{6}\int_1^\infty \left( \frac{1}{8 x^{3/2}} + \frac{3}{8 x^2} +\frac{3}{8 x^{5/2}} \right) dx\\ &= \frac{7K}{48} = \frac{7}{576\sqrt{3}} \approx 0.0070164 \end{align} $$ Así que para todos los $n$, tenemos $$\sum_{k=1}^n \cos\sqrt{k} = 2\sqrt{n} \sin\sqrt{n} + \frac{5}{2} \cos\sqrt{n}- \frac{47 \sen 1 + 36 \cos 1}{24} + \epsilon_n$$

con el término de error $|\epsilon_n| \le \frac{1}{24\sqrt{n}} + |R_{n,1}| \le 0.05$.

A partir de esto, vamos a ver, por un gran $n$, el comportamiento de las sumas parciales $\sum\limits_{k=1}^n \cos\sqrt{k}$ están dominados por el plazo $2\sqrt{n}\sin\sqrt{n}$. Simplemente oscilan entre el $\pm 2\sqrt{n}$ $n$ aumenta y, por tanto, ilimitado.