Conexión entre par / impar y simétrico / sesgo simétrico

Question

Leí hace un tiempo que el conjunto de real continua de las funciones con valores de $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tiene una descomposición en suma directa de subespacios de un estricto pares e impares funciones. Cualquier función $f$ a continuación, podría ser el único escrito en términos de pares e impares de las piezas mediante las fórmulas $\text{even}(x)=\dfrac{f(x)+f(-x)}{2}$ $\text{odd}(x)=\dfrac{f(x)-f(-x)}{2}$ donde $\text{even}(x)+\text{odd}(x)=f(x)$.

Recientemente me topé con una demanda similar por $n\times n$ matrices, pero en lugar de pares e impares, el conjunto de las matrices cuadradas tiene una suma directa de la representación en términos de simétrica e inclinación simétrica partes. Así que dada cualquier matriz cuadrada $A$ podemos escribir $B=\dfrac{A+A^T}{2}$ $C=\dfrac{A-A^T}{2}$ como el simétrico y el sesgo simétrica representaciones donde $A=B+C$.

¿Significa esto que la noción de simétrica e inclinación simétrica tiene una conexión a la noción de pares e impares? Representan una generalización de pares/impares, o hay otra idea que generaliza estas dos ideas?

Answer 1

Deje que$V$ sea cualquier espacio vectorial real, y que$T$ sea cualquier operador en$V$ con$T$ no la identidad, pero$T^2$ la identidad. Dado cualquier$v$ en$V$, tenemos$v=u+w$ con$T(u)=u$ y$T(w)=-w$, a saber,$u=(v+T(v))/2$ y$w=(v-T(v))/2$.

Answer 2

Puede pensar en la representación de una matriz compleja como la suma de una matriz hermitiana y sesgada-hermitiana como la analogía de la parte real e imaginaria de un número complejo. Es aún más evidente al considerar sus propiedades espectrales.