Este es un tipo de respuesta larga de explicar por qué el normal subgrupos son tan útiles para la búsqueda de los subgrupos. Una vez que usted aprenda acerca de la composición de la serie y director de la serie la mayoría de esto es bastante fácil. Derivado de la serie e inferior central de la serie para hacer más fácil su tarea, pero si no ver de dónde vienen, entonces podría ser reconfortante saber que son sólo una de las muchas series que trabajar. Me dan un poco bastante informal de la serie de abajo que dan definiciones equivalentes en grupos finitos.
El diedro grupo de orden 8 tiene subgrupos de órdenes 1, 2, y 4. De hecho tiene subgrupos normales de cada uno de estos órdenes, y cada subgrupo de orden 4 tiene un subgrupo de orden 1 y 2.
De hecho, el mismo es cierto para cualquier grupo de orden 8. Algo similar es verdad que en todo grupo de orden $p^n$: normal tiene subgrupos de orden $p^k$ todos los $0 \leq k \leq n$ y cada subgrupo de orden $p^k$ contiene subgrupos de orden $p^i$ todos los $o \leq i \leq k$.
La normal subgrupos característica es particularmente útil, ya que nos permite reemplazar el grupo de orden $p^n$ por grupos de orden $p^k$$p^{n-k}$. Es decir, que puede sustituir a $G$ $N$ $G/N$ donde $N$ es un subgrupo normal. Subgrupos de $N$ son claramente subgrupos de $G$ (con la pequeña orden), y los subgrupos de $G/N$ son todos de la forma $H/N$ cuando la $H$ son subgrupos de $G$ (con gran orden).
Tan normal subgrupos son agradables, tan lejos como la búsqueda de los más subgrupos en grupos más pequeños. Una serie normal es sólo una manera de dividir un grupo en muchos pedazos pequeños. Por la serie normal de la longitud de la $d$, voy a decir subgrupos $N_i$ tal que $1=N_d$, $N_0 = G$, cada una de las $N_i$ es normal en $G$, e $N_i \leq N_{i-1}$. Resulta que el estudio de lo bonito de los subgrupos de $G$ está muy relacionado con lo bonito de los subgrupos entre el$N_i$$H=N_{i-1}$,$N_i \leq N_{i-1} \leq G$.
Super
Aquí está un ejemplo: $N \leq H \leq G$ es súper agradable si cada subgrupo entre el $N$ $H$ es normal en $G$. Grupos con un super-agradable normal de la serie se llama supersolvable. Tienen subgrupos de todo orden, y de hecho cada máxima de la cadena de subgrupos entre dos subgrupos tiene la misma longitud [y estos son los únicos grupos finitos con que la propiedad].
Demostrando que la super-agradable grupos tienen todos los subgrupos de (ii) debe ser un ejercicio fácil. Demostrando que la versión más fuerte de (ii) [ que todas máxima cadenas de subgrupos tienen la misma longitud ] es un teorema de Iwasawa. Una relacionada con el teorema de Huppert es que un grupo en el que cada subgrupo maximal tiene un índice de prime es supersolvable (así que si se tiene el "derecho" grandes subgrupos, entonces tiene todos los posibles subgrupos).
Duper
Haciendo mejor que la super-agradable es bastante duro, pero es de gran ayuda para saber que ser super agradable significa que $G$ actúa como números cuando se actúa sobre $H/N$. $N \leq H$ es super bonito significa que $g^{-1}hg = h^k n$ para un número $k$ y algunos $n \in N$ (y con un poco de hipótesis, la $k$ no depende de $h$). ¿Cuál es la opción más sencilla de $k$? Bien $k=1$ del curso.
$N \leq H \leq G$ es super-duper-bueno si para cada a$g\in G$$h\in H$, hay algunos $n \in N$, de modo que $g^{-1} h g = h n$. Aviso de $h^k$ es simplemente de $h$ aquí. Esa es la duper.
Un grupo de orden $p^n$ tiene un super-duper-niza normal de la serie (de hecho, un super-agradable normal de la serie es automáticamente super-duper-niza debido a la posible $k$ tienen que dividir el $[G:N]$, y estar relativamente primer a $[H:N]$, pero ambos son poderes de $p$, dejando $k=1$ como la única posibilidad). Un grupo que es un producto directo de (su Sylow) $p$-grupos tiene un super-duper-niza normal de la serie. Resulta que un grupo finito con un super-duper-niza normal de la serie es también un producto directo de su Sylow $p$-subgrupos, principalmente debido a los productos directos tienden a tener $k=1$. Estos grupos son llamados nilpotent.
Los ejercicios aquí debe ser el mismo que en su libro de texto.
Apenas
$N \leq H \leq G$ es poco agradable si cada subgrupo entre el $N$ $H$ es normal en $H$ (en lugar de $G$). Esto es suficiente para obtener gran cantidad de subgrupos, pero algunos son "los que faltan:" si $G$ es un producto de tres números primos, como $2 \cdot 2 \cdot 3$, entonces usted puede conseguir una cadena de subgrupos de la longitud adecuada, como la orden de $1 < 2 < 2\cdot 2 < 2\cdot 2 \cdot 3$, pero tal vez usted no puede conseguir otras cadenas de la longitud correcta, $1 < 2 < 2\cdot 3 < 2 \cdot 3 \cdot 2$ es imposible en $A_4$. Teoremas de Sylow ayudar a dejar pasar como muchos primos como usted desea a todos en una fila, pero una vez que el cambio de los números primos puede no necesariamente cambia de nuevo. Un grupo que se llama solucionable si se tiene un poco de niza normal de la serie.
Creo que los ejercicios de aquí son un poco más difíciles. Usted debe ser capaz de demostrar que usted puede conseguir una cadena de subgrupos en la forma de (iii) sin mucho problema [ el uso de uno de los más principales de energía en cada uno de los más grandes subgrupo ], pero probando se puede elegir el orden de los números primos es un poco más difícil (1928 resultado de la Sala). Demostrando que si se puede hacer esto el grupo tiene solución es otro resultado de la Sala, pero un poco más difícil.
Travieso
Un grupo que se dice ser insoluble (o malo) si no tiene un poco de niza normal de la serie. Estos grupos son una locura y falta de toneladas de subgrupos. Eso es bueno en una forma, teniendo en cuenta que muchos subgrupos significa que no hay demasiado que ver.
Todos los grupos finitos tienen sus subgrupos de primer orden. Si $p$ divide $|G|$, $G$ tiene un subgrupo de orden $p$. Tan pequeños subgrupos sólo tienden a existir. Es el grande que puede desvanecerse. Si $G$ es incluso un poco agradable y $p$ divide $|G|$, $G$ tiene un subgrupo de orden $|G|/p^k$ algunos $k$. Para $G$ super-agradable, $G$ tiene un subgrupo de orden $|G|/p$.
Sin embargo, el grupo $S_{23}$ está bastante mal estado. Para $p=2$ $p=23$ tiene subgrupos de orden $|G|/p$. Sin embargo, ninguno de los otros primos $p$ que dividen su orden (para ser claros, que es $p=3,5,7,11,13,17,19$, un MONTÓN de números primos), incluso tiene subgrupos de orden $|G|/p^k$ para cualquier entero positivo $k$. De hecho, aparte de $|G|/2$ $|G|/23$ el siguiente mayor subgrupo de orden $|G|/253$ y, a continuación,$|G|/1771$. No $|G|/3$, no $|G|/15$, ni siquiera un mísero $|G|/200$.
En cierto sentido, esto no es ninguna sorpresa, $S_{23}$ es casi simple, que sólo tiene un adecuado no-identidad normal subgrupo $A_{23}$. No subgrupos normales significa que no hay ninguna razón real para tener otros subgrupos. Bien subgrupos de Sylow, y sus normalizadores. Un par de excepcionales subgrupos de fluencia, pero la gran variedad de subgrupos forzado a la existencia en el super-duper lindo grupos no acaba aquí.
