Si la transitividad de la normalidad se cumple en un grupo $G$ entonces $G$ es un grupo abeliano?

Question

Me gustaría saber la respuesta a la siguiente pregunta: ¿Es cierto que si $G$ es un grupo tal que $N\triangleleft M$ y $M\triangleleft G$ entonces $N\triangleleft G$ para todos los subgrupos $N,M$ de $G$ entonces $G$ es un grupo abeliano?

Agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Grupos con la propiedad de que $N\triangleleft M\triangleleft G$ implica $N\triangleleft G$ a veces se llaman $t$ -grupos (o $T$ -grupos). ( Añadido: La literatura más reciente con acceso a una mayor variedad de tipos de letra parece utilizar $\mathfrak{T}$ -grupo).

Para dos ejemplos triviales de $t$ -grupos que no son abelianos:

1. Cualquier grupo simple no abeliano es un $t$ -grupo, ya que debemos tener $M=G$ o $M=\{e\}$ .
2. Cualquier Grupo Dedekind (grupos en los que cada subgrupo es normal) es un $t$ -grupo. El grupo de cuaterniones de orden $8$ es un ejemplo de grupo Dedekind no abeliano.

El nombre " $t$ -El "grupo" parece haber sido introducido por Olga Taussky y Ernest Best, en Una clase de grupos , Proc. Roy. Irish Acad. Sect. A 47 (1942) 52-62, MR0006539 (4,2b). Demostraron que un $p$ -grupo es un $t$ -si y sólo si es abeliano o un grupo Dedekind, y que un grupo es un $t$ -grupo si puede ser generado por elementos $p_1,\ldots,p_n,q$ tal que $p_i^m=q^n=1$ , $p_ip_j = p_jp_i$ y $p_iq = qp_i^r$ donde $\gcd(n,m)=1$ y $rn\equiv 1 \pmod{m}$ En particular, los grupos con todos los $p$ -Los subgrupos cíclicos son $t$ -grupos.

Giovanni Zacher ( Caratterizzazione die $t$ -grupos finitos resolubles , Ricerche Mat. 1 (1952), 287-294, MR0053104 (14,722b)) estudió el soluble finito $t$ -y muestra que un grupo soluble finito $G$ de orden $p_1^{a_1}\cdots p_k^{a_k}$ , $p_1\gt\cdots\gt p_k$ es un $t$ -si y sólo si (i) todos los subgrupos Sylow son abelianos o grupos Dedekind; y (ii) $G$ tiene una secuencia $S_1,S_2,\ldots,S_k$ de los subgrupos de Sylow, $S_i$ de orden $p_i^{a_i}$ , de tal manera que cada $s_i\in S_i$ conjuga elementos de $S_j$ , $j\lt i$ en poderes de sí mismos. (En particular, esto sería válido para grupos en los que todos los subgrupos Sylow son cíclicos).

Wolfgang Gaschütz dio una caracterización alternativa en Grupos en los que el divisor normal es transitivo J. Reine Angew. Math. 198 (1957), 87-92, MR0091277 (19,940b): Si $G$ si es finito y solucionable, entonces $G$ es un $t$ -si y sólo si existe $L\triangleleft G$ tal que $L$ es abeliana de orden impar, $\gcd(|L|,|G/L|)=1$ , $G/L$ es un grupo Dedekind, y la conjugación induce automorfismos de potencia en $L$ . (En particular, un subgrupo de un soluble finito $t$ -es necesariamente un $t$ -grupo).

Derek J.S. Robinson estudió el caso de solubilidad infinita en Grupos en los que la normalidad es una relación transitiva Proc. Cambridge Philos. Soc. 60 (1964), 21-38, MR0159885 (28 #3101). Demostró que un soluble $t$ -es necesariamente metabélico (hay un subgrupo abeliano normal $M$ tal que $G/M$ también es abeliano); que el soluble finitamente generado $t$ -son finitos o abelianos; y que si $G$ es una torsión $t$ -grupo y $C$ es el centralizador de $[G,G]$ entonces $[G:C]$ contable implica que $G$ se divide en $[G,G,G]$ .

Unos años más tarde, en Una nota sobre grupos finitos en los que la normalidad es transitiva , Proc. Amer. Math. Soc. 19 (1968), 933-937, MR0230808 (37 #6366), Robinson demostró que lo siguiente es equivalente para grupos finitos: (i) $G$ es una solución $t$ -(ii) Todo subgrupo de $G$ es un $t$ -(iii) Todo subgrupo de un $p$ -Subgrupo Sylow $P$ de $G$ es normal en $N_G(P)$ para todos los primos $p$ .