Aparente contradicción con el teorema de Weyl

Question

Dejemos que $L$ sea $sl(2)$ es decir, $L=span\{h,e,f\}$ , donde $[h,e]=2e$ , $[h,f]=-2f$ , $[e,f]=h$ . Esto es semi-simple. Supongamos que creo un módulo $V=span\{v_1,v_2,v_3\}$ y definir las acciones como sigue: $$h(v_1)=v_1,h(v_2)=-v_2,h(v_3)=v_1$$ $$e(v_1)=0,e(v_2)=v_1,e(v_3)=0$$ $$f(v_1)=v_2,f(v_2)=0,f(v_3)=v_2$$ Entonces puedo probar los paréntesis en cada vector base de $V$ . Para $v_1$ : $$2e(v_1)=0,[h,e](v_1)=h(e(v_1))-e(h(v_1))=0$$ $$-2f(v_1)=-2v_2,[h,f](v_1)=h(f(v_1))-f(h(v_1))=h(v_2)-f(v_1)=-2v_2$$ $$h(v_1)=v_1,[e,f](v_1)=e(f(v_1))-f(e(v_1))=e(v_2)=v_1$$ Para $v_2$ : $$2e(v_2)=2v_1,[h,e](v_2)=h(e(v_2))-e(h(v_2))=h(v_1)-e(-v_2)=2v_1$$ $$-2f(v_2)=0,[h,f](v_2)=h(f(v_2))-f(h(v_2))=0$$ $$h(v_2)=-v_2,[e,f](v_2)=e(f(v_2))-f(e(v_2))=-f(v_1)=-v_2$$ Para $v_3$ : $$2e(v_3)=0,[h,e](v_3)=h(e(v_3))-e(h(v_3))=0-e(v_1)=0$$ $$-2f(v_3)=-2v_2,[h,f](v_3)=h(f(v_3))-f(h(v_3))=h(v_2)-f(v_1)=-2v_2$$ $$h(v_3)=v_1,[e,f](v_3)=e(f(v_3))-f(e(v_3))=e(v_2)=v_1$$ Todos estos paréntesis coinciden, por lo que $V$ es un módulo, pero si $W=span\{v_1,v_2\}$ entonces $W$ es un submódulo irreducible, pero $C=span\{v_3\}$ no es un submódulo (ya que $L(v_3)\subseteq W$ ). Así que $V$ no es completamente reducible.

Esto parece contradecir el teorema de Weyl, de que todo módulo de un álgebra de Lie semisimple es completamente reducible, pero no veo el error.

Answer 1

$W$ tiene un complemento, sólo que no es $\operatorname{span}\{v_3\}$ que es lo que tú dices que no es un submódulo. Puede comprobar que $\operatorname{span}\{v_3-v_1\}$ es un submódulo (isomorfo al módulo trivial) que es un complemento de $W$ .