Ecuaciones de campo en acción EH-GHY extendida. ¿Es Schwarzschild una solución?

Question

Al tomar la EH acción, $$S_{EH} = \frac{1}{16\pi G}\int_M d^4x \sqrt{-g}R$$ y hacer una pequeña variación en la métrica, mientras se ignora límite de términos, obtenemos

$$\delta S_{EH} = \frac{1}{16\pi G}\int_M d^4x \sqrt{-g}\left(\frac{1}{2} g^{\mu \nu}R -R^{\mu \nu}\right)\delta g_{\mu \nu} $$.

Cuando se buscan soluciones que demanda $\delta S = 0$, y por lo tanto obtenemos el vacío ecuaciones de campo de Einstein, $$\frac{1}{2} g^{\mu \nu}R -R^{\mu \nu}=0$$ que la métrica de Schwarzschild satisface. Hasta ahora tan bueno.

Ahora queremos añadir el GHY término de la acción, $$S_{GHY} = \frac{1}{8\pi G}\int_{\partial M} d^3x \sqrt{-h}K$$, que se anulan cualquier límite de los términos que hemos descuidado de manera arbitraria en la antigua variación. Cuando la variación de la métrica que vamos a obtener

$$\delta S_{EH+GBY} = \frac{1}{16\pi G}\int_M d^4x \sqrt{-g}(\frac{1}{2} g^{\mu \nu}R -R^{\mu \nu})\delta g_{\mu \nu}\\ + \frac{1}{8\pi G}\int_{\partial M} d^3x \sqrt{-h}\frac{1}{2}( h^{\mu \nu}K -K^{\mu \nu})\delta g_{\mu \nu}$$

Esto le da un nuevo conjunto de ecuaciones de campo. Mi problema es que me parece la métrica de Schwarzschild no es más que una solución: sabemos que el primer término se desvanece de forma idéntica, ya que satisface los originales de las ecuaciones de Einstein, por lo que en orden para que sea un punto extremal de la métrica, el segundo término también tiene que desaparecer de forma idéntica. es decir, el coeficiente de $\delta g_{\mu \nu}$ debe desaparecer:

$$\sqrt{-h}\frac{1}{2}( h^{\mu \nu}K -K^{\mu \nu}) = 0.$$

Multiplicando la igualdad de las $g_{\mu \nu}$ y la eliminación de la no-cero constantes, obtenemos

$$K=0,$$

que no tienen para una superficie de radio constante incrustado en la métrica de Schwarzschild. Incluso si tomamos Gibones y Hawking normalización restando un límite de plazo para la curvatura extrínseca de la frontera incrustado en el espacio plano, nos gustaría obtener

$$K = K_0,$$

que todavía no tienen una superficie de radio constante.

Puede alguien por favor decirme donde he ido mal?

Answer 1

Tenga en cuenta que la adición de límite de términos de la acción no cambia las ecuaciones de movimiento! Simplemente los cambios de las condiciones de contorno que usted tiene que imponer para que el variacional para el rendimiento de las ecuaciones de movimiento.

Dicho esto, el papel de los Gibones-Hawking-York término es no cancelar la toda la superficie de las integrales de obtener a partir de la variación de la $S_{EH}$, como se ha comprobado a ti mismo. Más bien, la adición de $S_{GHY}$ cancela el límite de términos relacionados con la $\delta( \partial_{\sigma}g_{\mu\nu})$. Por lo tanto el efecto de la adición de $S_{GHY}$ es que usted sólo tiene que requieren $\delta g_{\mu\nu}$ a desaparecer en el límite, con el fin de obtener las ecuaciones de Einstein. I. e. sólo tenemos que arreglar la métrica en el límite. Sin $S_{GHY}$ tendrías que requieren los derivados de la $g_{\mu\nu}$ se fija en el límite así.