Aproximar tres o más números

Question

Sé que usando la fracción continua puedo aproximar $$\frac{\ln 3}{\ln 2},$$ lo que significa que puedo encontrar dos enteros tales que $2^{k_2} \approx 3^{k_3}$ mi pregunta es puedo aproximar utilizando fracción continua o cualquier otro método tres enteros $k_2 ,k_3,k_5$ tal que $2^{k_2} \approx 3^{k_3} \approx 5^{k_5}$ ?

Answer 1

$2 = 3^{\log_3 2} = 5^{\log_5 2}$

Establecer $\log_3 2 = \frac {\ln 2}{\ln 3} \approx \frac pq$ y $\log_5 2 =\frac {\ln 2}{\ln 5} \approx \frac rs$ aproximarse tanto como se desee.

$2^{qs} \approx 3^{ps} \approx 5^{rq}$ .

(Sin embargo, el margen de error será significativamente mayor. Pero puede hacer que el error sea tan pequeño como quiera, pero haciendo que el error inicial esté entre $\frac pq$ y $\frac rx$ y $\log_3 2$ y $\log_5 2$ exponencialmente menor).

Ejemplo $\log_3 2 \approx .63$ y $\log_5 2 \approx .43$

Así que $2^{100} \approx 3^{63} \approx 5^{43}$

$ 1267650600228229401496703205376\approx 1144561273430837494885949696427 \approx 1136868377216160297393798828125$

Answer 2

En general, puede encontrar infinitos números enteros que cumplan su requisito (o, tal vez, ninguno, dependiendo de lo que entienda por " $\approx$ "). Sin embargo, es probable que desee imponer algunas restricciones. Para empezar, voy a reformular ligeramente su pregunta, para que me quede más tranquilo.

Supongamos que $\alpha_1, \alpha_2, \dotsc, \alpha_n$ son números reales. Supongamos además que son mutuamente inconmensurables (es decir $\frac{a_i}{a_j} \not\in\mathbb{Q}$ para todos $i\ne j$ ). Para un $\varepsilon > 0$ ¿existe una forma eficaz de encontrar $Q,p_1,p_2,\dotsc,p_n \in \mathbb{Z}$ tal que

1. $\left|Q\alpha_i - p_i \right| < \varepsilon$ y
2. $Q$ no es "muy grande" (eligiendo $Q > \varepsilon^{-1}$ Puedo encontrar muchas $p_i$ -¿podemos hacerlo mejor?).

Es decir, ¿puedo aproximar cada una de las $\alpha_i$ con números racionales que tienen todos el mismo denominador, donde ese denominador no es demasiado grande?

No tengo los conocimientos necesarios para dar una respuesta completa a su pregunta, pero permítame ofrecerle un "sí" provisional. Primero puede aproximar cada una de las $\alpha_i$ mediante, por ejemplo, la aproximación de fracciones continuas. A continuación, puede encontrar un denominador común a través de algún tipo de algoritmo de reducción de base, como el algoritmo LLL. Este proceso se describe en el capítulo 9 del texto de Bremner, citado más abajo. También se proporcionan otras referencias.

Bremner, Murray R. , Reducción de la base reticular. Una introducción al algoritmo LLL y sus aplicaciones. , Matemáticas Puras y Aplicadas (Boca Ratón) 300. Boca Ratón, FL: CRC Press (ISBN 978-1-4398-0702-6/hbk; 978-1-4398-0704-0/ebook). xvii, 316 p. (2012). ZBL1237.68007 .

Kaib, Michael; Schnorr, Claus P. , El algoritmo de reducción de Gauss generalizado J. Algorithms 21, nº 3, 565-578 (1996). ZBL0876.68049 .

Lenstra, A.K.; Lenstra, H.W.jun.; Lovász, László , Factorización de polinomios con coeficientes racionales Matemáticas. Ann. 261, 515-534 (1982). ZBL0488.12001 .