¿Cuál es el límite? PS
No consigo este límite. Realmente, no sé si tiene límite.
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SUGERENCIA: $$ \begin{align*} \frac3{(4^n+5^n)^{1/n}}&=\frac3{(4^n+5^n)^{1/n}}\cdot\frac{\left((1/5)^n\right)^{1/n}}{\left((1/5)^n\right)^{1/n}}\\\\ &=\frac3{5\left(1+\left(\frac45\right)^n\right)^{1/n}} \end {align *} $$
¿Puedes tomar el límite de esa última expresión como$n\to\infty$?
Aquí hay una manera intuitiva de pensar en ello. Cuando$n$ es muy grande,$4^n$ es una fracción muy pequeña de$5^n$, así que$\left(4^n+5^n\right)^{1/n}$ debería ser solo un poco más que$\left(5^n\right)^{1/n}=5$.
Alex
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Denote la función $$ f (n) = \ frac {3} {(4 ^ n + 5 ^ n) ^ {\ frac {1} {n}}} $$ El logaritmo de recuperación es una función continua, por lo tanto denota $$ L (f (n)) = \ log 3- \ frac {\ log (4 ^ n + 5 ^ n)} {n} \\ \ lim_ {n \ to \ infty} L (f (n)) = \ log 3 - \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {\ log (4 ^ n + 5 ^ n)} {n} = \ log 3 - \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {4 ^ n \ log 4 + 5 ^ n \ log 5} {4 ^ n + 5 ^ n} \\ = \ log 3 - \ log 5 = \ log \ bigg (\ frac {3} {5} \ bigg) $$ I se utiliza aquí la regla de L'Hospital y luego se divide la fracción a través de$5^n$. Por lo tanto,$\lim_{n \to \infty}f(n)=\frac{3}{5}$
