Ampliamente me gustaría entender lo que es la diferencia en la interpretación física de un (Euclideanized) QFT que es en el espacio-tiempo $S^d$ y que está en un espacio-tiempo de $S^{d-1}\times S^1$.
En el caso posterior, me siento cómodo pensar que esto es como una teoría de la realidad en una de Lorenz espacio-tiempo donde la espacial múltiple es $S^{d-1}$, pero la teoría es calentada a una temperatura igual a la circunferencia de la $S^1$ factor. Pero para el primer caso lo es la interpretación?
Considerar específicamente la acción de una conformemente junto Euclidiana escalar en $S^d$ el espacio-tiempo, $S = \frac{1}{2} \int_{S^d} d^dx \sqrt{G} \left [ (\nabla \phi )^2 + \frac{d-2 }{4(d-1) }R \phi^2 \right ]$. (donde$R$$S_d$$\frac{d(d-1) }{a^2 }$)
Sabiendo que esto es evidente en cuanto a cómo escribir la acción de la misma conformemente junto escalar la teoría en un espaciales $S^{d-1}$ a una temperatura finita?
Respuesta
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La continuación analítica de $S^d$ es de Sitter espacio, a menudo denotado como $dS_d$. Euclidiana QFT en $S^d$ corresponde a Lorenz QFT en $dS_d$. Esto puede ser visto de varias maneras, pero la más rápida es simplemente tenga en cuenta que la esfera es el máximo simétrica Euclidiana espacio de la firma con curvatura positiva, y de Sitter es el máximo simétrica de Lorenz de la firma de un espacio con curvatura positiva. Para un lugar famoso papel que va en la continuación y de Sitter QFT en detalle, ver http://journals.aps.org/prd/abstract/10.1103/PhysRevD.32.3136.
Sólo un par de comentarios adicionales: Euclidiana QFT en $S^{d-1}\times S^1$ puede ser seguido de Lorenz QFT en $S^{d-1}$ a temperatura finita, o podría ser continuado a ser de Lorenz QFT en $dS_{d-1} \times S^1$, dependiendo de cómo la continuación está hecho. También, la acción para un conformemente junto escalares no depende del espacio-tiempo, cuando se escribió covariantly como usted escribió anteriormente-por lo tanto, la fórmula es general y se aplica a cualquier fondo del colector.
