Función tal que los ceros$=$orden de la derivada

Question

¿Existe una función de $f\in C^n(\mathbb{R},\mathbb{R})$ $n\ge2$ tal que $f^{(n)}$ tiene exactamente $n$ ceros, $f^{(n-1)}$ tiene exactamente $n-1$ ceros y así sucesivamente ? Donde $f^{(n)}$ es la n-ésima derivada de $f$

Esta pregunta surgió de mucho de la pregunta que se hace aquí en el MSE.

Answer 1

Sí, la función de $f(x)=e^{-x^2}$ tiene esta propiedad; el $n$th derivada es $f^{(n)}(x)=(-1)^n H_n(x) \, e^{-x^2}$ donde $H_n$ es el polinomio de Hermite de grado $n$, la cual, debido a la ortogonalidad tiene exactamente $n$ real ceros (tienen que entrelazan con los ceros de $H_{n-1}$).

Answer 2

La función de $f(x)=2-\frac{1}{1+x^2}$ tiene la propiedad deseada durante, al menos, $0 \le n \le 7.$ Los derivados de la $f^{(n)}$ ( $n>0$ ) tienen cada uno un denominador una potencia de $1+x^2$, y una constante en frente de un polinomio $p_n(x)$ a que, por extraño $n$ hazs un factor de $x$ y el resto está en los poderes de $x^2$, mientras que para incluso $n$ no hay un factor de $x$ $p_n$ y el resto está en que incluso los poderes de $x$.

$p_1=x$

$p_2=3x^2-1$

$p_3=x(x^2-1)$

$p_4=5x^4-10x^2+1$

$p_5=x(3x^4-10x^2+3)$

$p_6=7x^6=35x^4+21x^2-1$

$p_7=x(x^6-7x^4+7x^2-1)$

Que es donde me detuve; comprobar que, por ejemplo, $p_6$ $6$ ceros reescribí $x^2$ $t$ y miró el cúbicos, que en $t=0,0.1,1,0,5,0$ tiene valores, respectivamente,$-1,+0.7,-8,+104$, de modo que hay tres positivos y ceros para el $t$ polinómica, por tanto, $6$ ceros para $p_6$ $p_7$ fue fácil sonce el cúbicos aquí factores como $(t-1)(t^2-6t+1)$, lo que ha $3$ positivo ceros, de modo que (recordando el factor de $x$) $p_7$ termina con siete ceros.

Aquí el patrón hace que parezca posible que esta función $f(x)$ mismo tiempo que el deseado número de ceros para cada derivados; sin embargo no veo ninguna buena manera de mostrar que, por inducción o de otra manera.