Quiero mostrar que si$X$ es un espacio reflexivo de Banach con la norma de clase$\mathcal{C}^1$ y$f\colon X\to\mathbb{R}\cup \{+\infty\}$ es convexo y semicontinuo inferior, entonces$f_{\lambda}$ es diferenciable de la clase$\mathcal{C}^1$.
(donde$f_{\lambda}:X\to\mathbb{R}\cup \{+\infty\}$ es la aproximación de Moreau-Yosida:$$f_\lambda(x)=\inf_{y\in X} \left\{ f(y)+\frac{1}{2\lambda}|x-y|^2\right\})$ $
Tal vez, este resultado podría ser útil: si$g\colon X\to\mathbb{R}$ es convexo y diferenciable en cada punto, entonces$g\in\mathcal{C}^1(X)$.
Muchas gracias de antemano.
