Polinomio satisfactorio$P \big(P (x)\big)=P (x)+ P\big(x^2\big)$

Question

Si$P(x)$ es un polinomio con coeficientes de enteros tales que, para todos los enteros$x$,$$P (P (x)) = P (x)+P (x^2)., he intentado resolverlo poniéndolo como una función. Aunque no mucho. ¿Cómo encuentras tales polinomios?

Answer 1

Las sugerencias. Primera nota de que cualquiera de las $P\equiv 0$ o es un segundo grado del polinomio, con los principales coeficiente de 1.

Para ello, observe primero que si $P$ es constante, entonces $P\equiv 0$.

Después, si el grado de $d$ $P$ es de al menos 1, entonces el grado de la mano izquierda de $$P(x)+P\big(x^2\big)=P\big(P(x)\big),$$ es $2d$, mientras que el de la derecha es $d^2$, y por lo tanto $2d=d^2$, es decir, $d=0$ o $d=2$.

A continuación, si $a_2x^2$ es el líder plazo de $P$, entonces el líder término de la izquierda es $a_2x^2$, mientras que el líder término del lado derecho es $a_2^2x^2$.

Por lo tanto $P(x)=x^2+ax+b$. A continuación, conecte este en la ecuación para determinar los valores de $a$$b$. Ahora, el tercer fin de plazo en el lado izquierdo es cero, mientras que en el lado derecho es $2ax^3$. Por lo tanto $a=0$. No es difícil conseguir que $b=0$, así.

Respuesta. Resulta que $P\equiv 0$.

Answer 2

Deje que el polinomio sea de grado n$P(P(x))$ tiene un grado máximo$(x^n)^n$ es decir,$n^2$ y en el lado derecho de manera similar tiene un grado máximo de$2n$. Entonces ahora compare este máximo de grados$n^2=2n$, lo que implica n = 2. Ahora intenta resolverlo considerando el polinomio como cuadrático.