¿Demostrar que el espacio Baire$\omega^\omega$ es completamente metrizable?

Question

Cuando traté de probar que el espacio Baire$\omega^\omega$ es completamente metrizable, definí una métrica$d$ en$\omega^\omega$ como: Si$g,h \in \omega^\omega$ entonces dejé que$d(g,h)=1/(n+1)$ donde$n$ es el elemento más pequeño en$\omega$, de modo que$g(n) \ne h(n)$ es tal$n$ existe, y$d(g,h)=0$ de lo contrario.

Estoy atascado tratando de probar que esta métrica está completa. ¿Puedes ayudarme por favor? Gracias por adelantado.

Answer 1

El punto aquí es que dos funciones son cerca de iff están de acuerdo en un segmento inicial, es decir, $d(f,g)\le 1/(n+1)$ fib $f(0)=g(0),f(1)=g(1),\dots,f(n-1)=g(n-1)$. Ahora, si $(f_n)_n$ es una secuencia de Cauchy, entonces, para cada a$n$, $N_n$ tal que para todos los $m,k>N_n$ tenemos $d(f_m,f_k)\le1/(n+1)$. Es decir, todas las funciones $f_m$ $m>N_n$ está de acuerdo en su primera $n$ valores.

Esto sugiere que, naturalmente, lo que el límite de la secuencia de $(f_n)_n$ debe: Definir $f:\omega\to\omega$ simplemente mediante el establecimiento $f(k)$ a ser el valor común $f_m(k)$ todos los $m$ lo suficientemente grande (por ejemplo, para todos los $m>N_{k+1}$). Para comprobar que $f$ es de hecho el límite de la $f_n$, ten en cuenta que, por construcción, para cualquier $k$, $d(f_m,f)<1/(k+1)$ mientras $m>N_{k+1}$. Pero esto es precisamente lo $\lim_m f_m=f$ medios.

Una de las muchas cosas que hacen a $\omega^\omega$ con este indicador interesante es que, como un espacio topológico, esto es sólo el irrationals. (Por supuesto, la métrica no es la métrica Euclidiana restringido a la irrationals, desde el irrationals claramente no son un completo espacio métrico bajo el estándar métrico.) Una buena prueba de esto es que en el principio de Arnie Miller monografía descriptiva de teoría de conjuntos y forzando.

Answer 2

Sea$x_n$ una secuencia de Cauchy. Entonces $d(x_n, x_{n+1}) \rightarrow 0$. En particular, para cada$\epsilon > 0$, existe un$N$ tal que$n > N$ implica$d(x_n, x_{n+1}) < \epsilon$.

Ejercicio: traduzca esa declaración en una que relacione$\omega^n$ y$\omega^{n+1}$ (o equivalentemente, prefijos en árboles finitos).

Ejercicio: ¿qué sucede cuando$n \rightarrow \omega$?

Una métrica diferente podría hacer esto más fácil. De hecho, diría que lo único que evita que este problema sea "trivial" es elegir una métrica que haga que el argumento sea trivial.