Demostrar: la serie de funciones,$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}x^2}{(1+x^2)^n}$ converge uniformemente

Question

PS

Quiero saber si esta serie de funciones converge uniformemente o no. Puedo reconocer a Leibniz aquí, así que si puedo demostrar que$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}x^2}{(1+x^2)^n}$ la serie de funciones convergerá uniformemente a 0.

¿Cómo debo hacer eso?

Gracias.

Answer 1

Su serie es una serie geométrica; por lo tanto las sumas parciales $s_n:=\sum_{k=0}^{n-1}\ldots$ puede ser calculada de forma explícita. Se obtiene

$$s_n={x^2(1+x^2) \over 2+x^2}\ \left(1-\Bigl({-1\over 1+x^2}\Bigr)^n\right)\ ;$$

por lo que es suficiente para demostrar que $g_n(x):={x^2\over (1+x^2)^n}$ converge a $0$ uniformemente con $n\to\infty$. Para este fin de poner $x^2=:u$ e investigar

$$h_n(u):=u(1+u)^{-n}\qquad (0\leq u<\infty)$$

en su lugar. Es fácil comprobar que para $n\geq2$ la función de $h_n$ asume su máximo en $u_n={1\over n-1}$; y el valor no es

$$h(u_n)={1\over n-1}\ \Bigl(1+{1\over n-1}\Bigr)^{-n}\ .$$

Como el segundo factor de la derecha converge a ${1\over e}$ se sigue que $h_n(u)\leq {C\over n}$ algunos $C$ y todos los $u\geq 0$, $n\geq2$.