La eliminación de discontinuidades que aumenta la función

Question

Deje $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ ser monótona creciente de la función. Sabemos, a partir de un hecho general de que el conjunto de discontinuidades de $f$ es contable. Denota el conjunto de discontinuidades por $D$.

Definir $g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ como sigue: $$g(x)=f(x^-)-\sum_{y\in D \text{ and }y<x}(f(y^+)-f(y^-))$$ It should be relatively clear that $g$ is monotone increasing. But is $g$ necesariamente continua?

Answer 1

Vamos a empezar desde el principio. Para $a<b$, vamos a $j(a,b)$ ser la suma de todos los saltos estrictamente entre el$a$$b$, es decir, la suma de $f(x^+)-f(x^-)$$x\in (a,b)$. La suma se ve loco (incontables), pero ya que la suma de cualquier finito subcolección está delimitado por $f(b^-)-f(a^+)$, la suma total que tiene sentido y es finito (en consecuencia, $f(x^+)-f(x^-)=0$ para todos, pero countably muchos $x$). De ello se desprende que $g$ va en aumento, debido a que $$g(b)-g(a) = f(b^-)-f(a^+) - j(a,b) \ge 0$$

La finitud de $j(a,b)$ también implica que para cualquier fijo $x$, $j(x,y)\to 0$ como $y\to x^+$$j(y,x)\to 0$$y\to x^-$. (Por la misma razón por la que una serie de términos positivos con delimitada sumas parciales converge.) Por lo tanto, $$\begin{split}\lim_{y\to x^-} (g(x )-g(y)) & = f(x^-)-\lim_{y\to x^-}f(y^-) - \lim_{y\to x^-}j(y,x) \\&= f(x^-)- f(x^-) - \lim_{y\to x^-}j(y,x) \\&= 0 \end{split}$$ y $$\begin{split}\lim_{y\to x^+} (g(y )-g(x)) &= \lim_{y\to x^+}f(y^-) - f(x^-) - (f(x^+)-f(x^-)) - \lim_{y\to x^+}j(x,y) \\&= f(x^+)- f(x^-) - (f(x^+)-f(x^-)) - \lim_{y\to x^+}j(x,y) \\&= 0\end{split}$$