La forma cerrada para ${\large\int}_0^\infty\frac{x\,\sqrt{e^x-1}}{1-2\cosh x}\,dx$

Question

Yo era capaz de calcular $$\int_0^\infty\frac{\sqrt{e^x-1}}{1-2\cosh x}\,dx=-\frac\pi{\sqrt3}.$$ Resulta que el integrando tiene incluso una escuela primaria antiderivada (ver aquí).

Ahora estoy interesado en una similar integral $$I=\int_0^\infty\frac{x\,\sqrt{e^x-1}}{1-2\cosh x}\,dx.$$ Numéricamente, es $$I\approx4.0336314630136915863337257797951491097354689684433117747419802...$$

Es posible encontrar una forma cerrada para esta integral?

Answer 1

Esta es otra de las integrales que se ve sombrío, entonces resulta ser muy bien una vez que averiguar lo que está pasando fuera y elegir el camino correcto. En este caso, el truco es simplemente cambiar las variables para $$ u^2 = e^x - 1, $$ que no cambie el intervalo de integración; esto es igual a $ x = \log{(1+u^2)} $ $$ dx = \frac{2u}{1+u^2}, $$ y lo más importante, $$ 2\cosh{x} -1 = (1+u^2)-1 + \frac{1}{1+u^2}, $$ y nos encontramos con que su primera integral se convierte en (reescritura de que sea positivo) $$ \int_0^{\infty} \frac{\sqrt{e^x-1}}{2\cosh{x}-1} \int_0^{\infty} \frac{2u^2}{u^2(1+u^2)+1} \, du = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{u^2}{1+u^2+u^4} \, du $$ El integrando incluso, esto es sencillo para rematar usando el teorema de los residuos, dando la $\pi/\sqrt{3}$.

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Por supuesto, lo que realmente importa es que esta con otro$\log{(1+u^2)}$. La costumbre truco aquí es establecer $$ I(a) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{u^2\log{(1+a u^2)}}{1+u^2+u^4} \, du. $$ $I(1)$ es lo que queremos, $I(0)$ es claramente $0$, así que podemos escribir $I(1) = \int_0^1 I'(a)$. Lo que ocurre es que $I'(a)$ es mucho más fácil de calcular, ya que es sólo $$ I'(a) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{u^4}{(1+u^2+u^4)(1+a u^2)} \, du, $$ que otro tedioso residuo de la computación, o igualmente interesante parcial fracciones da como $$ I'(a) = \frac{\pi}{\sqrt{3}} \left( \frac{a-2}{a^2- a+1} + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a} (a^2- a+1)} \right), $$ y así $$ I(1) = \frac{\pi}{\sqrt{3}} \int_0^1 \left( \frac{a-2}{a^2- a+1} + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a} (a^2- a+1)} \right) \, da, $$ otra integral cuya dificultad radica más en la paciencia que en el ingenio, y eventualmente obtener la respuesta final $$ I(1) = \frac{\pi^2}{6}+\frac{\pi}{2 \sqrt{3}} \log{\left(7+4 \sqrt{3}\right)}.$$

Answer 2

Sustituyendo $x\mapsto\ln(1+x^2)$ vemos que la integral es equivalente a $$I=-\int^\infty_{-\infty}\frac{x^2\ln(1+x^2)}{x^4+x^2+1}dx$$ Esto es equivalente a $2\pi i$ los tiempos de los residuos de $f(z)=-\dfrac{2z^2\ln(1-iz)}{z^4+z^2+1}$ en la mitad superior del plano en$z=e^{\pi i/3}$$z=e^{2\pi i/3}$. El resultado es $$I=\frac{\pi^2}{6}+\frac{\pi}{\sqrt{3}}\ln(2+\sqrt{3})$$