Yo había estado pensando en esto por un largo tiempo. No puedo expresar $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ en maneras que son útiles. (No estoy queriendo una fórmula, pero sólo algunas maneras de expresar esto). Sólo puedo pensar en $\sqrt{a+2\sqrt{ab}+b}$.
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Usted puede utilizar el conjugado:
\begin{align*} \sqrt{a}+\sqrt{b} &= \frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\\\\ &=\frac{a^2-b^2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \end{align*}
Sin embargo, esto deja una diferencia de raíz cuadrada en el denominador. En la mayoría de los casos, contar con una suma o diferencia de las raíces cuadradas en el numerador es menos de una molestia que en el denominador.
La mayoría del tiempo, usted va a utilizar esta técnica de multiplicar por el conjugado para quitar los molestos expresiones en el denominador de una fracción.
También funciona para los números complejos, por lo que multiplicando por el conjugado se puede quitar la parte imaginaria de un denominador:
\begin{align*} \frac{a+bi}{c+di}&=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}\\\\ &=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2} \end{align*}
Multiplicando toda la expresión por $\sqrt{ab}/\sqrt{ab}$ es muy interesante, así:
\begin{align*} \sqrt{a}+\sqrt{b} &= \frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{ab}\right)}{\sqrt{ab}}\\\\ &=\frac{a\sqrt{b}+b\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \end{align*}
Si por alguna razón se utiliza un registro de la tabla, esta identidad puede ser útil:
$$\sqrt{a}+\sqrt{b} = a^{1/2} + b^{1/2} = e^{(\ln a)/2} + e^{(\ln b)/2}$$
CodeMonkey1313
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No hay ningún buen propósito general "manera diferente" para expresar que la suma de las raíces.
Yo creo que lo que están esperando es algo verdadero para el uso donde usted desea que esta fue una igualdad $$ \sqrt{a + b} \ne \sqrt{a} + \sqrt{b} $$ pero saben mejor.
A veces multiplicar ambos lados de una ecuación o, tanto en el numerador o el denominador de una fracción por la conjugada $\sqrt{a} - \sqrt{b}$ será de ayuda.
A veces el cuadrado ambos lados de una ecuación como $$ \sqrt{a} + \sqrt{b} = \text{algo} $$ ayuda, porque después de la simplificación tiene solo el de la raíz cuadrada $\sqrt{ab}$.
