Es la inversa de una transformación lineal lineal así?

Question

Una pregunta desde el campo del Álgebra Lineal. Si tengo una transformación lineal $T$ que es de uno a uno y sobre, habría que decir que el $T^{-1}$ también será lineal? Si es así, ¿hay alguna general de la prueba?

Gracias

Answer 1

Sugerencia: Escribir las ecuaciones diciendo que $T$ es lineal. Ahora reemplace cada variable $x$ $T^{-1}(x)$ a lo largo, y se aplican $T^{-1}$ a ambos lados de la ecuación. Simplificar.

Answer 2

El uso de la relación $$T^{-1} \circ T = {\rm Id}$$ y la linealidad de $T$ $\rm Id$ obtener $$T^{-1} (a T(v) + b T(w)) = av + bw.$$ Ahora escribo $v' = T(v)$$w' = T(w)$. Tenemos $$T^{-1} (a v' + b w') = aT^{-1}(v') + b T^{-1}(w').$$