Estoy tratando de demostrar que Si $g_n$ es una secuencia de funciones crecientes en $[a,b]$ que converge uniformemente a $g$, y si una función creciente $f$ es integrable w.r.t $g_n$ todos los $n$, entonces f es integrable con respecto a $g$ $$\int_a^b f dg=\lim \int_a^b fdg_n$$ Puede alguien darme una pista?
Respuesta
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Usando integración por partes,
$$\int_a^b f \, dg_n = f(b)g_n(b) - f(a)g_n(a) - \int_a^b g_n \, df.$$
Por lo tanto,
$$\lim_{n \to \infty}\int_a^b f \, dg_n= \lim_{n \to \infty}[f(b)g_n(b) - f(a)g_n(a)]- \lim_{n \to \infty}\int_a^b g_n \, df \\ = f(b)g(b) - f(a)g(a)- \lim_{n \to \infty}\int_a^b g_n \, df .$$
Desde $g_n$ converge uniformemente a $g$ podemos intercambio de límite e integral como
$$\lim_{n \to \infty}\int_a^b g_n df = \int_a^b g \, df. $$
El intercambio es válido como
$$\left|\int_a^b g_n df - \int_a^b g \, df \right| = \int_a^b (g_n - g) df \leqslant \sup_{x \in [a,b]}|g_n(x) - g(x)|[f(b) - f(a)] \to 0.$$
El uso de una segunda integración por partes,
$$\lim_{n \to \infty}\int_a^b f \, dg_n= f(b)g(b) - f(a)g(a)-\int_a^b g_ \, df = \int_a^bf \, dg.$$
