La integración por partes - pregunta en un límite

Question

Quiero integrar esta función por partes:

$$\int_0^\infty x\lambda e^{-\lambda x} \, \mathrm{d}x$$

Y llego a la siguiente expresión:

$$\int_0^\infty x\lambda e^{-\lambda x} \, \mathrm{d}x = \left. -xe^{-\lambda x}\right|^\infty_0 + \int_0^\infty e^{-\lambda x} \, \mathrm{d}x$$

¿Cómo puedo evaluar este: $ \left.-xe^{-\lambda x}\right|^\infty_0$ como parece rendimiento $\frac{-\infty}{0}$

Gracias

Answer 1

(Asumiendo $\lambda > 0$) puede utilizar la regla de L'Hôpital:

$$ \lim_{x\to\infty} -xe^{-\lambda x} = -\lim_{x\to\infty} \dfrac{x}{e^{\lambda x}} = -\lim_{x\to\infty} \dfrac{1}{\lambda e^{\lambda x}} = 0 $$

La correspondiente idea es que, mientras que $x$ $e^{\lambda x}$ crecer como $x\to \infty$, $e^{\lambda x}$ crece mucho más rápido, y en general la fracción tiende a cero.

Answer 2

$\lim_{x \to \infty}-xe^{-\lambda x}=\lim_{x \to \infty}\frac{-x}{e^{\lambda x}}$ tiene la forma indeterminada $\frac{-\infty}{\infty}$ que establece Hospital de la Regla.