Diferencia entre el $y_t = \alpha + \beta t$ $y_t = y_{t-1} + \beta$

Question

A alguien en mente caminar conmigo a través de las diferencias entre: \begin{align} y_t &= \alpha + \beta t \\ &\& \\ y_t &= y_{t-1} + \beta \end{align} así como entre \begin{align} y_t &= \alpha + \beta t + a_t \\ &\& \\ y_t &= y_{t-1} + \beta + a_t \end{align}

donde creo que el $a_t$ es una secuencia de independientes normal de las variables aleatorias, $\mathcal N(0,1)$?

Básicamente todo lo que puedo sacar de esto es que $y_t = \alpha + \beta t$ es un modelo de regresión donde la variable dependiente y las variables independientes y la $y_t = y_{t-1} + \beta$ es un modelo de serie temporal que depende del pasado y algunas variables $\beta$. Claramente que no es una muy buena explicación de lo que es la diferencia entre las ecuaciones.

Answer 1

$$y_t = \alpha + \beta t$$

y

$$y_t = y_{t-1} + \beta$$

son de la misma hasta una constante: tome la segunda ecuación y sustituir de forma iterativa para $y_{t-1}$ para obtener

$$y_t = y_{t-1} + \beta = y_{t-2} + 2 \beta = \dotsc = y_0 + \beta t.$$

Así que si $\alpha = y_0$, los dos coinciden. Si no, la diferencia es $\alpha - y_0$, que es una constante.

---

Mientras tanto,

$$y_t = \alpha + \beta t + a_t$$

y

$$y_t = y_{t-1} + \beta + a_t$$

son muy diferentes por naturaleza: tome la segunda de las dos últimas ecuaciones y de forma iterativa sustituto de $y_{t-1}$ para obtener

$$y_t = y_{t-1} + \beta + a_t = y_{t-2} + 2 \beta + a_{t-1} + a_t = \dotsc = y_0 + \beta t + \sum_{\tau=1}^t a_{\tau}.$$

La diferencia es$\alpha - y_0 - \sum_{\tau=1}^{t-1} a_{\tau}$, lo que implica una constante componente $\alpha - y_0$ y un paseo aleatorio componente $\sum_{\tau=1}^{t-1} a_{\tau}$. Al $t$ crece más grande, el paseo aleatorio de los componentes dominan el componente constante y la diferencia será esencialmente una caminata aleatoria.

Answer 2

Si $\alpha + \beta t$ no son al azar, a continuación, $y_t$ es totalmente una función determinista (es decir, que esto es sólo una línea con intersección $\alpha$ y la pendiente $\beta$.

La siguiente ecuación es también no al azar (como $\beta$ y el valor inicial $y_0$ no es al azar)

El siguiente conjunto de ecuaciones son lo que la gente puede obtener más general se refieren a como la regresión y series de tiempo de regresión, respectivamente.

Answer 3

Puede ser más específico en $\beta$, es una constante o una variable? si constante, ¿qué valores puede tomar? Yo creo, que es una constante. Estos son los modelos de serie de tiempo.

Las ecuaciones con el tiempo la tendencia es un modelo de tendencia determinista, sin embargo, podría ser fácilmente demostrado que $y_t$ es estacionaria si $\beta$ enfoques $0$. El segundo modelo es un AR(1) modelo donde el coeficiente de $y_{t-1}$ es 1. El DGP en ambos casos es sensible a los valores de $\beta$ toma.

Para ver esto, ejecutar simulaciones en excel variando los valores que $\beta$ puede tomar.