Cómo solucionar para $\theta$ en términos de $a,b,c$ en esta expresión?

Question

Estoy tratando de diseñar un perfil de leva como en la imagen de arriba. Hay 2 ecuaciones he venido para arriba con la que definir la variable "c". El problema, sin embargo, es que las variables a, b y c son valores conocidos y es el ángulo de $\theta$ que necesito saber. 2 arcos en los extremos de la línea recta son iguales. El radio de los arcos y el ángulo de $\theta$ cambio cuando ninguna de las variables se cambian.

El 2 ecuaciones que tengo hasta ahora:

$c = \frac{2a}{\sin \theta}(1-\cos \theta)+\frac{b.\sin \theta}{\cos \theta} $

$c = 2 \left[ \frac{a}{\sin \theta} - \sqrt{ \left( \frac{a}{\sin \theta} \right)^2 - a^2}\, \right] + \frac {b.\sin \theta}{\cos \theta} $

Yo no puedo por la vida de administrar para reorganizar la ecuación para hacer $\theta$ el tema!

Si alguien es un álgebra de genio, cualquier ayuda sería muy apreciada!

Saludos.

EDITAR

Ok, así que después de un poco de geométrica travesuras, he venido para arriba con algunas de las distintas ecuaciones para ayudar a resolver esto, pero y sigue luchando para reorganizar. (Sin embargo, he tenido que cambiar de $\theta$ con $x$ como no pude conseguir $\theta$ a trabajar con el programa dibujé esto!)

Mediante el dibujo de una cuerda para el arco, podemos demostrar que el ángulo de la cuerda es la mitad de la pendiente. Lo que realmente necesitamos saber es la longitud de cualquiera de las $e$ o $d$, donde $d + e = \frac{c}{2}$

El uso de la mitad del ángulo de la fórmula I get:

$\tan x = \frac{2 \tan \frac{x}{2} }{1 - \tan^2 \frac{x}{2}}$

Que puede ser escrito como:

$\frac{c-2e}{b} = \frac{\frac{2e}{a}}{1-\frac{e^2}{a^2}} $

Simplificar a:

$\frac{c-2e}{b} = \frac{2ae}{a^2-e^2}$

Mi problema ahora, es que no se puede simplificar para obtener $e$ sobre su propio!

Si alguien tiene alguna idea, que sería impresionante!

Answer 1

Teniendo en cuenta la primera ecuación $$c = \frac{2a}{\sin (\theta)}(1-\cos (\theta))+\frac{b\,\sin (\theta)}{\cos (\theta)}$$ el uso de la tangente de la mitad de ángulo de sustitución, y terminamos con $$c=\frac{2 t \left(-a t^2+a+b\right)}{1-t^2}$$ es decir $$2 a t^3-c t^2-2 t (a+b)+c=0$$ que se puede resolver usando el método de Cardano.

Probablemente más fácil sería el método de Newton para resolver la ecuación cúbica. De partida el uso de $t_0=0$, debemos tener $t_1=\frac{c}{2 (a+b)}$y $$t_2=\frac{c^3 (b-a)+4 c (a+b)^3}{8 (a+b)^4-2 c^2 (a-2 b) (a+b)}$$ $$t_{n+1}=\frac{4 a t_n^3-c t_n^2-c}{2 \left(3 a t_n^2-c t_n-(a+b)\right)}$$

Del mismo modo, si $\theta$ es pequeño, se podría ampliar la primera ecuación como la serie de Taylor $$c= (a+b)\theta+\frac{a+4 b}{12} \theta ^3 +\frac{a+16 b}{120} \theta ^5 +\frac{17 (a+64 b)}{20160}\theta ^7+O\left(\theta ^9\right)$$ y el uso de la serie de reversión para obtener $$\theta=\frac{c}{a+b}-\frac{ (a+4 b)}{12 (a+b)^4}c^3+\frac{ \left(a^2+2 a b+16 b^2\right)}{80 (a+b)^7}c^5+O\left(c^7\right)$$

Editar

Aún suponiendo que los valores pequeños fo $\theta$, se podría construir en $\theta=0$ la $[2,2]$ Padé approximant y obtener para el conjunto de la $$f(\theta) = \frac{2a}{\sin (\theta)}(1-\cos (\theta))+\frac{b\,\sin (\theta)}{\cos (\theta)}-c$$ a la aproximación $$f(\theta)\simeq\frac{-c+ (a+b)\theta+\frac{c (a+4 b)}{12 (a+b)}\theta ^2}{1-\frac{(a+4 b)}{12 (a+b)} \theta ^2 }$$ La solución de la ecuación cuadrática $$\theta\simeq \frac{2 \left(\sqrt{3 c^2 (a+4 b) (a+b)+9 (a+b)^4}-3 (a+b)^2\right)}{c (a+4 b)}\tag 1$$ que me parece interesante.

Tratemos por $a=1$ e $b=4$. Dar $\theta$ un valor para calcular los $c$ y se vuelve a calcular la estimación de $\theta_*$ de $(1)$. La siguiente tabla reproduce los resultados (en grados). $$\left( \begin{array}{ccc} \theta & c & \theta_* \\ 5 & 0.43728 & 5.00001 \\ 10 & 0.88029 & 10.0003 \\ 15 & 1.33510 & 15.0020 \\ 20 & 1.80853 & 20.0082 \\ 25 & 2.30862 & 25.0249 \\ 30 & 2.84530 & 30.0617 \\ 35 & 3.43143 & 35.1324 \\ 40 & 4.08434 & 40.2567 \\ 45 & 4.82843 & 45.4605 \\ 50 & 5.69963 & 50.7782 \\ 55 & 6.75373 & 56.2542 \\ 60 & 8.08290 & 61.9466 \end{array} \right)$$

Actualización

Después de los comentarios, es bastante seguro de que podemos hacer mejor sabiendo que el área de interés es de alrededor de $\theta=\frac \pi 4$. Para quedarse "simple", la escritura de la $[1,1]$ Padé approximant, debemos obtener $$\theta\simeq \frac \pi 4+ \frac{\alpha +\beta c}{\gamma+\delta c}$$donde $$\alpha=2 \left(\left(6 \sqrt{2}-8\right) a^2+\sqrt{2} a b+b^2\right)$$ $$\beta=2 \left(\sqrt{2}-2\right) a-2 b$$ $$\gamma=2 \left(\sqrt{2}-2\right) a^2+3 \left(5 \sqrt{2}-8\right) a b-2 b^2$$ $$\delta=\left(4-3 \sqrt{2}\right) a-2 b$$ Aplicado al caso $$a= \pi 160\frac{12}{360}=\frac{16 \pi }{3}\qquad b= \pi 160\frac{50}{360}=\frac{200 \pi }{9}\qquad c=80$$ esto daría $$\theta\simeq \frac \pi 4 +\frac{90 \left(6 \sqrt{2}-37\right)+\left(337+366 \sqrt{2}\right) \pi }{\left(1161 \sqrt{2}-2497\right) \pi -90 \left(13+9 \sqrt{2}\right)}\approx 0.761710$$ which converted to degrees would give $43.6427$ while the exact solution would be $\theta=0.7617146$ corresponding to $43.6430$. No es demasiado malo.

Manteniendo $a=\frac{16 \pi }{3}$ e $b= \frac{200 \pi }{9}$ y la variación de $c$ a través de una muy amplia gama, aquí están algunos de los resultados. $$\left( \begin{array}{ccc} c & \theta_{approx} & \theta_{exact} \\ 60 & 35.1540 & 35.2569 \\ 65 & 37.4779 & 37.5244 \\ 70 & 39.6591 & 39.6759 \\ 75 & 41.7103 & 41.7142 \\ 80 & 43.6427 & 43.6430 \\ 85 & 45.4666 & 45.4665 \\ 90 & 47.1906 & 47.1894 \\ 95 & 48.8228 & 48.8165 \\ 100 & 50.3704 & 50.3528 \end{array} \right)$$

Nueva actualización

Todavía podemos hacer mucho mejor, por el precio de una ecuación cuadrática. Alrededor de un ángulo dado $\theta_0$, desarrollar el lado derecho de la ecuación original como $[2,2]$ Padé approximant y resolver para $\theta$. No voy a dar aquí las fórmulas, pero sólo los resultados de la última trabajado caso de $(\theta_0=\frac \pi 4, a=\frac{16 \pi }{3}, b= \frac{200 \pi }{9})$ $$\left( \begin{array}{ccc} c & \theta_{approx} & \theta_{exact} \\ 60 & 35.256535 & 35.256856 \\ 65 & 37.524331 & 37.524418 \\ 70 & 39.675901 & 39.675917 \\ 75 & 41.714232 & 41.714233 \\ 80 & 43.643029 & 43.643029 \\ 85 & 45.466540 & 45.466540 \\ 90 & 47.189400 & 47.189400 \\ 95 & 48.816481 & 48.816478 \\ 100 & 50.352781 & 50.352763 \end{array} \right)$$

Answer 2

Creo que uno puede simplificar el problema mucho al darse cuenta de que debido a la simetría del segmento de línea recta es pasar de la derecha a través del centro de su dibujo, es decir, dada la esquina inferior derecha corresponde a $(0,0)$, a través de $(a+\tfrac{b}{2},\tfrac{c}{2})$. Entonces es fácil ver que $\tan(\tfrac{\pi}{2}-\theta) = \frac{a+\tfrac{b}{2}}{\tfrac{c}{2}}$. Sin embargo, los valores de $a$, $b$ e $c$ no son independientes. De hecho, todo lo que necesita es $c$ e $2a+b = 2(a+\tfrac{b}{2})$, el último de los cuales es el ancho del rectángulo.

Answer 3

Podemos configurar $a^2+(c/2)^2=(d/2)^2$ e $\tan \theta =d/b$ donde d es el otro lado del rectángulo central con un tamaño es $b$