¿Cómo calcular $2^{\sqrt{2}}$ a mano eficientemente?

Question

He estado tratando de calcular $2^{\sqrt{2}}$ a mano de manera eficiente, pero lo que he tratado de hacer hasta ahora falla en algún punto, porque tengo que usar muchos decimales de $\sqrt{2}$ o $\log(2)$ para obtener una más o menos buena aproximación.

Es incluso posible hacerlo sin que se enfrenta irracional expresiones como $\sqrt{2}$ o $\log(2)$ en nuestros cálculos?

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Parece que nadie está prestando atención a los requisitos en mi pregunta a todos : ( no está permitido el uso de uso $\log(2)$ o $\sqrt{2}$ en sus respuestas. Uso de fracciones continuas es permitido. Permítanme frase mi pregunta de esta forma: Encontrar una serie infinita $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_n$ tal que $a_n \in \mathbb{Q}$. Existe, al menos en una de esas series, a saber, la serie que se obtiene por la escritura decimal de expansión de $2^{\sqrt{2}}$, pero que la serie es buena para nada porque si ya sabíamos que la expansión decimal de $2^{\sqrt{2}}$ entonces no tenía necesidad de ser después de la aproximación de $2^{\sqrt{2}}$ mediante el uso de series infinitas.

Vistazo a la siguiente serie:

$\displaystyle e = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} = 2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24}+\frac{1}{120}+\frac{1}{720} + \cdots$

$\displaystyle \pi = \frac{4}{1} - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \frac{4}{9} - \frac{4}{11} + \cdots$

$\displaystyle \pi = 3 + \frac{4}{2\times 3 \times 4} - \frac{4}{ 4 \times 5 \times 6} + \frac{4}{6 \times 7 \times 8} - \frac{4}{8 \times 9 \times 10} + \cdots $

Tanto en $e$ $\pi$ son irracionales trascendental números. Pero hemos encontrado que no trivial de la serie infinita con términos racionales para ellos. Alguien puede posiblemente encontrar una serie similar de $2^{\sqrt{2}}$? Esto es algo que he propuesto como un reto para mí y yo no, ahora me pregunto si alguien de aquí podría hacerle frente.

Answer 1

${\large\mbox{Hint}}$:

$$ \sqrt{\vphantom{\large A} 2\,} = \sqrt{98 \over 49} = {1 \over 7} \,\sqrt {\vphantom {\large A} 100-2} = {10 \over 7} \,\sqrt {\vphantom {\large A} 1 - {1 \over 50}} \approx {10 \over 7} \,\left (1 - {1 \over 2} \, {1 \over 50} \right) = {10 \over 7} - {1 \over 70} $$

Answer 2

En esta pregunta "calcular" y "eficiente" no están bien definidos. Será necesario implicar a un irracional como el resultado va a ser irracional. Cómo muchos lugares que están buscando? Qué recursos son aceptables? Alfa le dará $\sqrt 2\approx 1.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679...$ $\log 2\approx 0.693147180559945309417232121458176568075500134360255254120680...$ y en más lugares, si quieres. Para tu problema se da $2^{\sqrt 2} \approx 2.665144142690225188650297249873139848274211313714659492835979...$ Si usted quiere realmente el lápiz y el papel, yo usaría $2^{\sqrt 2}=(2\sqrt 2)2^{1.5-\sqrt 2}=(2\sqrt 2)\exp((1.5-\sqrt 2)\log 2)$, evaluar el $\sqrt 2$ por el viejo tiempo de procedimiento (véase el Dígito por dígito cálculo de aquí)y la exponencial por la serie de Taylor como el argumento es pequeño.

Answer 3

Observe que $$2^\sqrt2=\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n!}$$ donde $$a_n = \prod_{k=0}^{n-1} (\sqrt2-k)$$

Podemos expresar $a_n$ en la forma $b_n+c_n\sqrt2$, a través del esquema iterativo,

\begin{align} b_{n+1} &= 2c_n-nb_n&\qquad c_{n+1} &= b_n-nc_n\\ b_0&=1&\qquad c_0&=0 \end{align}

Así tenemos $$ 2^\sqrt2 = \sum_{n=0}^\infty \frac{b_n}{n!}+\sqrt2\sum_{n=0}^\infty \frac{c_n}{n!} $$ Tenga en cuenta que $b_n$ $c_n$ cada crecer más rápido de lo $n!$; las sumas que debe ser evaluado en conjunto. Desde aquí, usted puede reemplazar a $\sqrt2$ con su elección de infinita suma que se evalúa a $\sqrt2$, como

$$ \sqrt{2} = \sum_{m=0}^\infty (-1)^{m+1}\frac{(2m-3)!!}{(2m)!!} $$ (donde $n!!$ es el doble factorial), y cambiar el orden de la suma del producto de los términos. La elección concreta de suma influye en la velocidad de convergencia. Tomado directamente, la suma es alterna, por lo que la convergencia de aceleración debe ser particularmente útil.

Answer 4

$2^{\sqrt{2}} =e^{(\ln 2)\sqrt{2}} =e^{e^{(\ln\ln 2)+(\ln 2)/2}} $.

Obtener una tabla de $\ln(x)$$e^x$.

Buscar $a = \ln(2)$.

Buscar $b = \ln(a)$.

Set $c = b+a/2$.

Set $d = e^c$.

Set $h = e^d$.

Si esto no es suficiente, Te puedo prestar uno de mis diapositivas reglas (circular o recta).

Answer 5

Lo que puedes hacer es ampliar la función de $2^x$ en su de la serie de Taylor alrededor de x = 0 y el uso de los primeros términos de la serie. Ahora usted está evaluando un polinomio, que es mucho más fácil.

La serie no converge uniformemente, de modo que cuanto más lejos x es de 0 los términos más vas a necesitar. Pero $ \sqrt 2$ no es del todo lejos. Usted puede obtener las estimaciones del resto (un montón de libros de texto de discutir estos restos) y ver cómo muchos de los términos que usted necesita para obtener la convergencia desea.

Señaló como por comentario más abajo que los coeficientes de esta serie involucrar a los poderes de log2. Sin embargo, log2 es la suma de la serie armónica alternante, por lo que un cierto número de términos de que puede ser utilizado para un aproximado.