estado actual del cristalino cohomology?

Question

Las grandes referencias en Ilya pregunta que me pregunto sobre el estado actual de las muchas conjeturas y preguntas abiertas en Illusie de la encuesta de 1994, sobre cristalina cohomology. Obviamente (basta con comparar Illusie de la encuesta a partir de 1975 con la anterior o con Chambert-Loir la encuesta de 1998), no es muy intensa de trabajo en la que las conexiones entre los diversos cohomology teorías atacando el caso de "l=p". Algunos de los más recientes encuestas sólo en Fontaine p-ádico Hodge teoría ya están vinculados a las respuestas a Ilya pregunta, Le Stum del libro (fe de Erratas) cubre rígido chohomology. Entre las cuestiones abiertas se menciona en Illusie de la encuesta son finitud teoremas, cristalina coeficientes geométricos semistability, la identidad de polinomios característicos de la Frobenius de diferentes teorías,... ¿Cuál es el estado actual de estos? Que las nuevas teorías se han creado en el último decenio, cómo encajan juntos y que las nuevas preguntas que surgieron?

Edit: U. Jannsen hablado recientemente en un "refinamiento de la cohomology mediante el uso de la teoría de los llamados medidores como se ha presentado anteriormente por Mazur y Kato y ciertos syntomic gavillas." Por desgracia no encontré preprint en que. Edit: Jannsen (diapositivas) "un cohomology teoría en característica p que refina la cristalina cohomology – y funciona bien para torsión" y "una gavilla teoría que generaliza el Dieudonné teoría – y funciona bien para torsión."

Edit: Vaya Yamashita habló sobre "La Theorie de Hodge p-adique verter variedad ouverts" evitando Falting casi etale extensiones. Por desgracia no encontré ningún texto donde se puede leer que.

Edit: Una breve nota por Bhargav Bhatt y patrocinio aise aumentar Johan de Jong en un recorte en la prueba del teorema de comparación entre el cristalino y de de Rham cohomology.

Edit: Una nueva prueba de la semistability conjetura por Beilinson y una definición de la derivada de cristales por Gaitsgory y Rozenblyum.

Edit: Un p-ádico derivados de Rham cohomology por Bhargav Bhatt, dando ", derivada de Rham descripciones del período habitual de los anillos y los mapas relacionados en p-ádico Hodge teoría" y "una nueva prueba de la Fontaine cristalinas de conjeturas y la Fontaine-Jannsen del semistable conjetura".

Edit: Una "una nueva cohomology teoría en característica p>0, la llamada F-calibre cohomology, un cohomology con valores en la categoría de los denominados F-medidores, que refina el cristalino cohomology" por Fontaine, Jannsen.

Edit: otra muy interesante y muy agradable de leer la historia de las matemáticas hablar por Illusie "Grothendieck en Pisa: cristales y Barsotti-Tate grupos":

Answer 1

Esta es una "gran imagen" en la pregunta, pero permítanme ilustrar algunos de los recientes progresos tomando un pequeño ejemplo cerca de mi corazón.

Dejar que nos toquen ni con el campo de $\mathbb{Q}_p$ primitivo $l$-ésima raíz de 1$$, donde $p$ y $l$ son números primos, para obtener la extensión $K|\mathbb{Q}_p$. Nos damos cuenta de que esta extensión es unramified si $l\neq p$ pero se ramifica a si $l=p$. Cuando nos tocan todas las $l$-poder raíces de $1$, obtenemos la $l$-ádico cyclotomic carácter $\chi_l:\operatorname{Ga}(\bar{\mathbb{Q}}_p|\mathbb{Q}_p)\to\mathbb{Q}_l^\times$, que es unramified si $l\neq p$ pero se ramifica a si $l=p$. Pero nosotros no podemos decir que $\chi_p$ es ramificado y hacer con ella. Tenemos que de alguna manera expresar el hecho de que $\chi_p$ es un "natural" y un "buen carácter", no un carácter arbitrario, $\operatorname{Ga}(\bar{\mathbb{Q}}_p|\mathbb{Q}_p)\to\mathbb{Q}_p^\times de dólares, de los cuales hay muchos, porque las topologías en los grupos a los $\operatorname{Ga}(\bar{\mathbb{Q}}_p|\mathbb{Q}_p)$, $\mathbb{Q}_p^\times$ de alguna manera son "compatibles".

El hecho de que $\chi_p$ es un "buen carácter" se expresa diciendo que es cristalina. En general, podemos hablar de cristalino representions de $\operatorname{Ga}(\bar{\mathbb{Q}}_p|\mathbb{Q}_p)$ en finito-dimensional espacios de más de $\mathbb{Q}_p$; la definición real es en términos de un cierto anillo $\mathbf{B}_{\text{cris}}$, construido por Fontaine, que puede ser entendido en términos de cristalino cohomology.

Mi ejemplo ilustrativo es acerca de la $l$-ádico criterio de una abelian variedad $A$ través $\mathbb{Q}_p$ para tener buena reducción. Para $l\neq p$, esto se puede encontrar en un artículo de Serre y Tate en los Anales, y es llamado el Néron-Ogg-Shafarevich criterio. Se dice que $a$ tiene buena reducción de la si y sólo si la representación de $\operatorname{Ga}(\bar{\mathbb{Q}}_p|\mathbb{Q}_p)$ en la $l$-ádico Tate módulo $V_l(Una)$ es unramified.

¿Qué sucede cuando $l=p$ ? Es mucho esperar que $V_p(Una)$ ser un unramified representación cuando $A$ tiene buena reducción; hemos visto que incluso $\chi_p$ no es unramified. Lo Fontaine demostrado es que el $p$-ádico representación $V_p(Una)$ es cristalino (si $a$ tiene buena reducción). Para completar la analogía con el caso $l\neq p$, Coleman y Iovita demostrado en un documento en el Duque, que, por el contrario, si la representación $V_p(Una)$ es cristalina, entonces el abelian variedad $$ tiene buena reducción.

Espero que esta tentadora.

Answer 2

Kedlaya dio una charla en agosto en la que mencionó el trabajo de Daniel Caro en la finitud rígidos de cohomology con los coeficientes de (algunos de los cuales es en el ArXiv). En la misma página, usted puede encontrar las notas de sus conversaciones en semistable reducción.