Si cada secuencia $(x_{n}) \subset X$ $(\lambda_{n}) \subset \mathbb{R}$ tenemos $\lim \lambda_{n}x_{n} = 0$, $X$ es limitada

Question

Deje $(V,\Vert \cdot \Vert)$ una normativa espacio vectorial.

(a) Probar que si $A,B \subset V$ con $A$ abrir, a continuación, $A + B$ está abierto.

(b) existe discontinuo abrir conjuntos de $A_{1},A_{2}$ para el que no hay conjuntos cerrados disjuntos $F_{1},F_{2}$ tal que $A_{1} \subset F_{1}$ e $A_{2} \subset F_{2}$?

(c) Probar que si $X \subset V$ es acotado, entonces para cada secuencia $(x_{n}) \subset X$ e $(\lambda_{n}) \subset \mathbb{R}$ con $\lim \lambda_{n} = 0$ tenemos $\lim \lambda_{n}x_{n} = 0$. Lo acerca a la inversa?

Mi intento.

(a) Deje $A$ ser un conjunto abierto. Así, $A + b = \{a+b \mid a \in A\}$ es de traducción, por lo tanto, está abierto. Pero $\displaystyle A + B = \bigcup_{b \in B}(A+b)$, a continuación, $A+B$ está abierto.

(b) $A_{1} = \mathbb{R}_{>0}$ e $A_{2} = \mathbb{R}_{<0}$, debido a $\overline{A_{1}} = A_{1}\cup\{0\}$ e $\overline{A_{2}} = A_{2}\cup\{0\}$

(c) Si $(x_{n})$ es una secuencia en $X$, a continuación, $(x_{n})$ está acotada. Pero $$(x_{n}) = ((x_{1,n}),(x_{2,n}),...,(x_{k,n}))$$ donde cada una de las $(x_{i,n})$ es un almacén de secuencia en $\mathbb{R}$. Por lo tanto, $\lim \lambda_{n}x_{i,n} = 0$ por cada $i$, a continuación, $\lim \lambda_{n}x_{n} = 0$.

Lo contrario parece ser cierto, pero no puedo probar. Alguien me puede ayudar?

Answer 1

De tu parte (a) está bien, suponiendo que conocer la traducción es continua.

De su parte (b) está en el camino correcto, pero se supone que $V$ es la continuidad, mientras que debería ser una normativa espacio vectorial. Usted tiene el derecho idea de separar en dos sets por un conjunto muy pequeño, pero usted no debe confiar en las coordenadas (ya que no tiene ningún coordenadas...). El uso de la norma en su lugar.

De su parte (c) tiene un problema similar: a menos que usted está en un espacio de dimensión finita, no hay razón ni justificación para la escritura de la secuencia en las coordenadas. De nuevo, debe ser el uso de la norma. Observe que

$$\|\lambda_n x_n\| = |\lambda_n| \cdot \|x_n\| \le |\lambda_n| \sup_{x \in X} \|x\| \to 0.$$

Lo contrario es la verdad, y puede ser tratada de la misma manera; elegir una desenfrenada secuencia $\{x_n\}$ y la artesanía $\lambda_n$ dependiendo $x_n$ , de modo que $\|\lambda_n x_n\| \not\to 0$. Constante de la norma obras.

Answer 2

Por el contrario: supongamos $X$ es no acotada. A continuación, contiene algunos secuencia $(x_n)$ tal que $(\|x_n\|)\to\infty$ (tome $x_n$ a ser un ejemplo dado por la negación de la definición de "limitado" con la constante de conjunto a $n$). Tome $\lambda_n = \frac{1}{\|x_n\|}$. A continuación, $(\lambda_n)\to 0$, pero $(\lambda_nx_n)\not\to 0$, desde el $(\|\lambda_nx_n\|) = (1) \not\to 0$. Así, tomando el contrapositivo, tenemos a la inversa (NOTA: usted tiene un poco perder el contrapositivo que has dado en el título: te has caído de la $\lim\lambda_n = 0$ bits).

Answer 3

Lo contrario es cierto, vamos a probarlo por contraposición:

Suponga que $X$ es ilimitado. Por lo tanto para cada $n\in\mathbb{N}$ existe $x_n \in X$ tal que $\|x_n\| \ge n$. Considerar la secuencia de $(\lambda_n)_n = \left(\frac1n\right)_n$. Tenemos $\lim_{n\to\infty} \lambda_n = 0$pero $ \|\lambda_nx_n\| \ge 1, \forall n\in\mathbb{N}$ por lo que no convergen a $0$.

Answer 4

Su enfoque de la parte (a) es correcta; para ser más explícitos, se puede mostrar el porqué $A+b$ está abierto.

Usted tiene la idea correcta para la parte (b), pero es necesario afirmar un poco más general. Deje $A_1$ e $A_2$ ser disjuntas abrir las bolas que ambos tienen algún punto de $z$ en su cierre. Entonces si $F_1$, $F_2$ son conjuntos cerrados que contienen a$A_1$, $A_2$, respectivamente, tenemos $z\in F_1$ e $z\in F_2$ desde $F_1\supset \overline{A_1}$ e $F_2\supset\overline{A_2}$, lo $F_1$ e $F_2$ no puede ser distinto. Para construir tal $A_1$ e $A_2$, vamos a $x,y$ ser distintos puntos en $V$ con $\|x\|=\|y\|$ y considerar el abrir las bolas centradas en $x$ e $y$ radio $\frac 12 \|x-y\|$. A continuación, el punto de $\frac12(x+y)$ es en el cierre de estos dos bolas.

Para la parte (c) voy a aplazar a la aceptación de la respuesta.