Deje $\mathscr A$ ser un álgebra de conjuntos. Deje $\Sigma$ ser el más pequeño de sigma álgebra (también el más pequeño de la monotonía de la clase) que contenga $\mathscr A$. Deje $A_0 \in \Sigma$. A continuación, $A_0 \cap \Sigma$ es un sigma álgebra y es también el más sigma álgebra (o la monotonía de la clase) que contiene el álgebra $\mathscr A \cap A_0$.
Para demostrar $A_0 \cap \Sigma$ es un sigma álgebra es fácil, pero estoy teniendo problemas para mostrar que es el más pequeño de tales sigma álgebra.
En particular, estoy tratando de utilizar la monotonía de la clase teorema (c.f. Lieb Pérdida de Análisis ch 1) para hacerlo.
Para ese fin, vamos a $\{\Pi\}_\alpha$ ser la recopilación de toda la monotonía de las clases que contengan $\mathscr A \cap A_0$. Vamos $$\Pi = \bigcap_{\alpha} \Pi_\alpha.$$ We wish to show $\Pi = A_0 \cap \Sigma$. It is clear $\Pi \subconjunto A_0 \cap \Sigma$, since $A_0 \cap \Sigma = \Pi_\beta$ for some $\beta$. Estoy claro de cómo mostrar el reverso de la inclusión. Una sugerencia en cuanto a cómo proceder sería útil, en contraposición a una respuesta completa.
Esto parece como si debería ser relativamente sencillo ver como aparece un lado en una prueba en Lieb Pérdida, pero no ha demostrado ser tan...
