Supongamos que $A$ es un conmutador $R$ -y que también es un campo. Definir:
- Para $x,y \in A$ , digamos que $x$ divide $y$ si $xr = y$ para algunos $r \in R$ .
- Llame a $x,y \in A$ asociados si cada uno divide al otro.
- Digamos que $I \subseteq A$ es un ideal si $A$ es un subgrupo aditivo de $A$ y $RI \subseteq I$
- etc.
Creo que este es a menudo el contexto adecuado para ver los problemas de factorización en los campos, y posiblemente en otras situaciones en las que hay "demasiadas unidades". Por ejemplo, cuando $\mathbb{Q}$ es visto como un $\mathbb{Z}$ -tiene una propiedad de "factorización única" por la que cada $q \in \mathbb{Q}$ puede expresarse de forma única, hasta los asociados, como producto de elementos primos de $\mathbb{Z}$ y recíprocos de elementos primos de $\mathbb{Z}.$ Esencialmente, la misma idea debería funcionar si pensamos en la factorización en grupos abelianos; dado un submonoide distinguido, obtenemos una relación de divisibilidad correspondiente, una noción de asociados, etc. y podemos intentar demostrar resultados de factorización en este contexto.
¿Dónde puedo aprender sobre este tipo de cosas?
