De Segundo Orden De La Ecuación Diferencial--Método De Frobenius

Question

Estoy estudiando para un examen de calificación y estoy atascado en la siguiente pregunta. Podría alguien darme alguna ayuda?

$$y''+\frac{\sin x}{x}y'+\frac{2\cos(x+x^2)-\frac{2}{(x-1)^2}+4x}{x^2}y=0$$

Encontrar todos los puntos singulares de la ecuación y clasificarlos como regular/irregular. Luego de encontrar el primer término de una serie en potencias de $x-1$ para cada una de las dos soluciones linealmente independientes como $x\rightarrow1$.

Creo que los puntos singulares son 0 y 1, y ambos son regulares. Pero estoy teniendo algunos problemas con la solución de la serie.

Answer 1

$x=0$ es un común punto como las singularidades de los coeficientes son extraíbles.

Hay un punto singular regular en $x=1$. Para analizar este punto, usted debe aproximarse a la educación a distancia cerca de este punto (ampliar los coeficientes en $z=x-1$): $$y'' + O(1) y' + \left[-\frac{2}{(x-1)^2} + O(x-1)^{-1}\right] y =0 .$$

Ahora usted sabe que hay al menos una solución de la forma ($c_0\neq0$) $$y(z)= z^{\alpha} \sum_n c_n z^n.$$ Podemos determinar $\alpha$ conectando este ansatz en la educación a distancia: a menor $$\alpha(\alpha-1) z^{\alpha-2} c_0 - \frac{2}{z^2} c_0 z^\alpha=0 $$ que es válida cuando se $\alpha (\alpha-1) =2$. Las soluciones son $$\alpha_1 =-1, \text{ and } \alpha_2 = 2.$$ Así que el primer término de una solución es $$y_1(x) = c_0 (x-1)^2.$$