Deje $M$ ser un complejo múltiple de admisión, y deje $\omega$ $(p,q)$- forma. Luego, en holomorphic coordenadas $(z^1,\dots , z^n)$, $\omega$ puede ser expresado como $\omega = f_{U,V} dz^U \wedge d\bar{z}^V$ donde $dz^U = dz^{u_1}\wedge\cdots\wedge dz^{u_p}$ e la misma para $dz^V$. ¿Existen las condiciones necesarias y suficientes en $f_{U,V}$ $\omega$ para ser real?
Respuesta
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Khushi
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Una forma compleja $\omega$ es real si $\overline{\omega} = \omega$. Si $\omega$ $(p, q)$- formulario, a continuación, $\overline{\omega}$ $(q, p)$- forma, por lo que una condición necesaria para que un $(p, q)$-forma de ser real es que $p = q$. Esta condición no es suficiente, sin embargo (considerar la constante de $(0, 0)$forma $i$).
Asumiendo $\omega$ $(p, p)$- forma, y escribir $\omega = f_{UV}dz^U\wedge d\bar{z}^V$, luego
$$\overline{\omega} = \overline{f_{UV}} d\bar{z}^U\wedge dz^V = (-1)^{p^2}\overline{f_{UV}}dz^V\wedge d\bar{z}^U = (-1)^p\overline{f_{UV}}dz^V\wedge d\bar{z}^U.$$
Por lo tanto, la forma $\omega$ es real si, y sólo si $f_{VU} = (-1)^p\overline{f_{UV}}$.
