Simplectomorfismo de un punto a otro en una variedad simpléctica conectada

Question

Estaba echando un vistazo a la siguiente antigua pregunta y me preguntaba si esto podría extenderse a las variedades simplécticas. Así que si tenemos un colector simpléctico $(M,\omega)$ y dos puntos diferentes $x,y \in M$ ¿existe un simplectomorfismo $\phi: M \to M$ tal que $\phi(x) = y$ ?

Intenté el mismo enfoque que en esa pregunta pero no pude probar que $\tilde{X}$ era un campo vectorial simpléctico.

Answer 1

Defina la siguiente relación de equivalencia en $M$ : $x \sim y$ si existe un simplectomorfismo que conecta $x$ y $y$ . Se comprueba fácilmente que es una relación de equivalencia, y ahora basta con demostrar que cada clase es abierta (ya que $M$ está conectada, entonces sólo hay una clase y el resultado es el siguiente).

Por lo tanto, dejemos que $x \in M$ y elegir un gráfico de Darboux $(\phi,U)$ . Sea $y \in U$ .

El campo vectorial constante local $V \equiv \phi(y)-\phi(x)$ da lugar a un campo vectorial simpléctico que tiene su flujo en el tiempo $1$ conectando $\phi(x)$ y $\phi(y)$ . Como estamos en $\mathbb{R}^{2n}$ , $\iota_V \omega=dH$ para algunos $H$ (en realidad, proporcionar tal $H$ manualmente no debería ser difícil).

Escoge una función de bacheo $\rho$ que es $1$ en un conjunto abierto que contiene $x$ y $y$ y su apoyo está contenido en $U$ . Entonces $\lambda:=\rho \cdot (H \circ \phi^{-1}) $ es una función suave para la que el campo vectorial hamiltoniano produce un flujo tal que el tiempo $1$ toma $x$ a $y$ . Desde $y \in U$ es arbitraria, tenemos nuestro resultado.

Answer 2

Pista: la pregunta es local, puedes usar campos vectoriales hamiltonianos. Puedes suponer que un gráfico de $M$ es un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ con la restricción de la forma simpléctica estándar (Darboux), considere una función $f$ con soporte compacto que es afín en $V\subset U$ y que desaparece fuera de $V$ . Sea $X_f$ sea el Hamiltoniano de $f$ muestra que utilizando las coordenadas locales que si $x,y$ están en $V$ existe un $f$ como el anterior cuyo flujo permite conectar $x$ y $y$ .