El límite infinito de la secuencia de soluciones de ecuaciones lineales cuando el número de ecuaciones llega al infinito

Question

Supongamos que tenemos un vector real de dimensión infinita $y=(y_1,...)$ . Supongamos que tenemos una matriz real de dimensión infinita $C=(c_{ij})$ , $i,j\in\mathbb{N}$ . Dejemos que $C^k$ sea una submatriz de $C$ , $C^k=(c_{ij})_{i,j=1,k}$ y $y_k$ un subvector de $y$ , $y^k=(y_1,...,y_k)$ . Definir

$$\theta^k=C_k^{-1}y^k$$

Mi pregunta (que probablemente sea demasiado general) es qué condiciones deben $C$ y $y$ satisfacen para que los límites puntuales

$$\lim_{k\to\infty}\theta^k_i$$

¿Existe? Tengo la sensación de que esto podría resolverse fácilmente aplicando la teoría de los operadores lineales, pero no consigo averiguar cómo reformular el problema.

Para hacer esta pregunta menos general podemos suponer que $y\in\ell_2$ y $C_k$ es una matriz simétrica positiva-definida para cada $k$ .

Esta pregunta está relacionada con este He preguntado en mathoverflow.

Actualización @fedja presenta a continuación un posible esbozo de prueba. Sin embargo, requiere que $\|C_k^{-1}\|$ es una secuencia acotada (tome la norma de la matriz $\|\|_2$ ). Si suponemos que $C$ es un operador lineal en $\ell_2$ tiene la propiedad de que cada submatriz $C_k$ es positiva-definida asegura que la secuencia $\|C_k^{-1}\|$ ¿está acotado?

Esta pregunta puede reformularse de la siguiente manera. Para una matriz simétrica positiva-definida $A$ denotan sus valores propios mínimos y máximos por $\lambda_{\min}$ y $\lambda_{\max}$ . Entonces $\|A\|_2=\lambda_{\max}$ y $\|A^{-1}\|_2=\lambda_{\min}^{-1}$ . Teniendo en cuenta esto, la pregunta anterior es idéntica si $\lambda_{min}(C_k)$ está acotado lejos de cero.

Answer 1

No estoy seguro de lo que buscas exactamente pero si $\|C\|<+\infty$ , $\sup_k \|C_k^{-1}\|<+\infty$ y $y\in\ell^2\cap C\ell^2$ entonces la convergencia se mantiene y, además, $\theta_k$ convergen a la solución (única) $\theta$ de $C\theta=y$ en $\ell^2$ . La razón es muy sencilla. Si $P_k$ es la proyección ortogonal a la primera $k$ coordenadas, entonces $C_k$ es la parte no trivial de $P_kCP_k$ por lo que si $\theta_k$ se amplía con ceros, tenemos $P_kCP_k\theta_k=P_ky$ . Por otro lado, $|P_kCP_k\theta-P_ky|\le \|C\|\cdot|P_k\theta-\theta|$ . Así, $|\theta_k-P_k\theta|\le\|C_k^{-1}\|\cdot\|C\|\cdot |P_k\theta-\theta_k|\to 0$ como $k\to\infty$ .

Answer 2

Esto se acerca más a un comentario que a una respuesta, pero sería demasiado largo para un comentario. Básicamente, algunas ideas que podrían ayudar o no. (Solo cosas que me recordó esto, no necesariamente útiles para tu problema).

Reescribamos su ecuación como $y^k=C_k\theta^k$ . Si considero que $y^k$ y $\theta^k$ como secuencias infinitas (añado ceros), entonces tengo

$$z^k=C\theta^k,$$

donde el vector $z^k$ tiene los mismos valores que $y^k$ en la primera $k$ coordenadas.

Si además suponemos que $y^k\to y$ (lo que implica $z^k\to y$ ) y $\theta^k\to\theta$ puntualmente y que el operador correspondiente a $C$ es en cierto sentido continua, entonces obtenemos

$$y=C\theta.$$

Por lo tanto, una condición necesaria es que $y$ está en el rango de $C$ .

Mi opinión es que esta condición debería ser suficiente para la continuidad de $C$ :

$$\|C\| = \sup_n \sum_k |c_{nk}| < \infty$$

---

No estoy seguro de que esto realmente ayude, pero la última ecuación $$y=C\theta$$ está relacionado con la teoría de la sumabilidad. De hecho, los métodos matriciales estudiados en la teoría de la sumabilidad se definen en la forma en que se transforma una secuencia utilizando una matriz dada y luego se toma un límite.

Para conocer algunos resultados conocidos se puede consultar, por ejemplo, Boos: Métodos clásicos y modernos de sumabilidad También puede encontrar algunas notas aquí: http://thales.doa.fmph.uniba.sk/sleziak/texty/rozne/trf/boos/

Desde el punto de vista del análisis funcional: Morrison Análisis funcional