Deje $(X, \mathcal{B}, \mu)$ ser un número finito de medir el espacio y supongamos $\{A_n\} \subseteq \mathcal{B}$ s.t. $\sum_{n=1}^\infty \mu(A_n) < \infty$. Además vamos a $\underset{n \rightarrow \infty}{\text{limsup}}$ $A_n = S$. Mi objetivo es mostrar que el $\mu(S) = 0$. Es la siguiente prueba (en particular, el paso 2) válido?
Primero tener en cuenta que el $S = \bigcap_{n=1}^\infty \bigcup_{m=n}^\infty A_n$ es measruable ya que es una contables intersección de una contables de la unión de los conjuntos medibles $A_n$.
Como consecuencia inmediata de la definición de $S$, tenemos que si $s \in S$, $s \in A_n$ para un número infinito de las $A_n$. Por otra parte, $S \subseteq A_n$ para un número infinito de las $A_n$.
Si por causa de la contradicción que había que $0 < \mu(S) = r \in \mathbb{R}^+$,$\sum_{n=1}^\infty \mu(A_n) \ge \sum_{k=1}^\infty \mu(S) = \sum_{k=1}^\infty r = \infty$, una contradicción ya que el $\sum_{n=1}^\infty \mu(A_n) < \infty$ por hipótesis.
Por lo tanto $\mu(S) = 0$ como se desee.
