Búsqueda de $\lim_{x\to -2}{\frac{x+2}{\sqrt{-x-1}-1}}\;$ sin L'Hospital

Question

He estado tratando de encontrar $$\lim_{x\to -2}{\frac{x+2}{\sqrt{-x-1}-1}}$$ sin L'Hospital de la Regla, pero estoy atascado. He intentado

• Rationalizationg el denominador
• Factorizando $\,x$

Pero no funcionó. Por último, he utilizado L'Hospital del Teorema y tengo la respuesta $-2$. Es allí cualquier manera de evaluar esta sin este concepto?

Answer 1

Si usted racionalizar el denominador se convierte en $-(x+2)$ y después de la cancelación de todo lo que queda es $$-(\sqrt{-x-1}+1)$$

Ahora, si tomamos el límite que usted consigue $-2$.

Answer 2

Aquí está una fácil solución por sustitución: el uso de $u = \sqrt{-x-1} \Rightarrow x = -(u^2+1)$ la fórmula original:

$$\lim_{x\to -2}{\frac{x+2}{\sqrt{-x-1}-1}}$$

$$\lim_{u\to 1}{\frac{-(u^2+1)+2}{u-1}}$$

$$\lim_{u\to 1}{\frac{-(u-1)(u+1)}{u-1}}$$

desde $\lim_{y\to 0}{\frac{y}{y}} = 1$ a continuación, el $$\lim_{u\to 1}{\frac{-(u-1)(u+1)}{u-1}} = \lim_{u\to 1}{\frac{-(u+1)}{1} = -2}$$

Answer 3

$$\frac{x+2}{\sqrt{-x-1}-1} = \frac{x+2}{\sqrt{-x-1}-1}\bigg(\frac{\sqrt{-x-1}+1}{\sqrt{-x-1}+1}\bigg)$$

$$ = \frac{(x+2)(\sqrt{-x-1}+1)}{-(x+2)} = -1-\sqrt{-x-1}$$

$$ \lim_{x\rightarrow -2}\bigg(-1-\sqrt{-x-1}\bigg) = -2$$

Answer 4

Racionalizar el denominador de las obras.

$$\lim_{x\to -2}{\frac{x+2}{\sqrt{-x-1}-1}}=\lim_{x\to -2}{\frac{x+2}{\sqrt{-x-1}-1}}.\frac{{\sqrt{-x-1}+1}}{{\sqrt{-x-1}+1}}=\lim_{x\to -2}{\frac{x+2}{-x-2}}.{(\sqrt{-x-1}+1)}=\lim_{x\to -2}-{(\sqrt{-x-1}+1)}=-2$$

Answer 5

SUGERENCIA:

Set $\sqrt{-x-1}=y\implies y^2=-x-1\iff y^2\to1\implies y\ne1$