Integrales de línea Uso del FT en este extraño campo vectorial: ¿cuáles son las condiciones exactas?

Question

Realmente he probado miles de cosas antes de decidirme a preguntar aquí. Busqué por todo Internet una respuesta, pero no la encontré.

Empecemos con el Teorema Fundamental de las Integrales de Línea. Tomemos el siguiente enunciado (que se encuentra en muchos lugares, por ejemplo, en esta pregunta de Math.SE ):

Supongamos que $C$ es una curva suave dada por $r(t)$ , $a \leq t \leq b$ y supongamos $\nabla f$ es continua en $C$ . Entonces $$\int_{C}\nabla f\cdot dr = f(r(b)) - f(r(a)).$$

Lamentablemente, debe haber algún error aquí. Este teorema implica claramente que si C es una curva cerrada, la integral debe ser cero. Pronto mostraré un contraejemplo. Pero antes, me gustaría aclarar que ya entiendo "parte" del error: sé que el enunciado anterior debe haber olvidado alguna condición, como algún tipo de diferenciabilidad y tal. Así que esta es mi pregunta, ¿cuáles son EXACTAMENTE los requisitos? Al principio esperaba que fuera una pregunta fácil de buscar en Google, pero resultó que nadie parecía preocuparse lo suficiente con ese tipo de detalles. Sin embargo, me interesan esos detalles.

Muy bien, echa un vistazo a este vídeo del MIT donde se demuestra que el siguiente (famoso) campo vectorial NO es conservativo:

$$\vec{F}(x,y) = \dfrac{-y\hat{i} + x\hat{j}}{x^2 + y^2}$$

Muy bien. Lo entiendo. De hecho, si usted toma $C$ para ser el círculo unitario en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del origen, la integral será igual a $2\pi$ , no cero .

El problema es, $\vec{F}$ ¡¡se puede escribir como un campo de gradiente!! Mira:

$$ f = -arctan(x/y) \implies \vec{F} = \nabla f$$

También es cierto que $C$ es una curva suave (círculo) y $\nabla f$ es continua en $C$ .

Esto demuestra que la afirmación citada para el Teorema Fundamental de las Integrales de Línea debe ser errónea.

Como dije antes, sospecho que la declaración citada olvidó algunas condiciones. Quiero saber cuáles son esas condiciones, y, lo que es más importante, ¡por qué se necesitan esas condiciones! Incluso miré una demostración del teorema, pero no pude detectar ningún paso que necesitara condiciones adicionales.

Todo esto planteó también otra cuestión: ¿es realmente Es cierto que los campos de gradiente y los campos conservadores son lo mismo (como se indica por esta pregunta de Math.SE )? Si efectivamente son la misma cosa, ¿estás de acuerdo en que Campo de Gradiente fue una mala elección de nombre (dado que mostré un campo, escrito como gradiente, que no es conservador)? Si no son la misma cosa (lo que estaría en desacuerdo con el pregunta vinculada ), entonces ¿cuál es la diferencia? ( Meta-paréntesis: Espero que esta parte no se considere un duplicado, dado que creo que falta la otra pregunta - si me equivoco y efectivamente es un duplicado, por favor ayúdenme explicando qué debería haber hecho exactamente en su lugar ).

RESUMEN

1. ¿Qué hay de malo en el citado Teorema Fundamental de las Integrales de Línea? (¿qué condiciones faltan?)

2. ¿Por qué son necesarias esas condiciones adicionales?

3. Teniendo en cuenta todo esto, ¿es realmente cierto que "campo de gradiente" es lo mismo que "campo conservador"? (Por favor, tenga en cuenta que soy consciente de esta pregunta pero creo que está incompleta, por lo tanto creo que esta parte no es un duplicado. Por favor, lea toda la pregunta para obtener detalles sobre esto. Simplemente no quiero una etiqueta duplicada aquí).

Gracias a todos por su tiempo.

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EDITAR: Después de buscar aún más, finalmente encontré un poco de información que ayudó - esta página de Wikipedia pero lamentablemente todas mis preguntas siguen en pie. Parece que la condición que falta es la necesidad de ser simplemente conectado Pero, ¿cómo va eso exactamente en el Teorema Fundamental de las Integrales de Línea? En realidad, mi libro de texto (de James Stewart) no menciona nada sobre conexión simple sobre el Teorema Fundamental de las Integrales de Línea. No hay ninguna región, ¡sólo una curva!

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EDITAR 2: Acabo de encontrar esta pregunta y esta pregunta , contestado por Shuhao Cao. Aunque la mayor parte de las explicaciones utilizan conocimientos más profundos con los que no estoy familiarizado, pude averiguar que

la equivalencia entre que un campo vectorial sea conservativo, que su rotación sea cero, que sea el gradiente de un potencial escalar y que su integral de trayectoria sea independiente de la trayectoria sólo se da en dominios simplemente conectados

(como dijo joriki en un comentario).

Lo creo pero aún no entendí la razón - probablemente la razón es la falta de conocimiento para entender la explicación de Shuhao Cao.

No obstante, mis preguntas 1 y 2 siguen en pie. Además, si alguien puede dar una explicación más sencilla que las de Shuhao Cao, sería genial.

Answer 1

El enunciado habitual del FT de las integrales de línea es correcto. Sólo hay que asegurarse de entender la afirmación " $\nabla f$ es continua en $C$ ." Como se nota para su ejemplo $\vec{F}$ se puede calcular $f(x,y) = - \mathrm{arctan} \left( \frac{x}{y} \right)$ . El problema es que esta función no está definida cuando $y = 0$ . Es decir, $\nabla f$ no es continua en ninguna curva que cruce el $x$ -eje. En particular, no es continua en ningún círculo $C$ alrededor del origen. En otras palabras, el enunciado del teorema asume implícitamente que $f$ está bien definida en la curva.

El quid de la cuestión es que cuando se demuestra que $\nabla f = \vec{F}$ Sólo hay que tomar derivados. Esta es una local (es decir, sólo funciona para puntos cercanos). El cálculo de integrales de línea implica global ya que los puntos finales no tienen por qué estar muy cerca. La condición adicional de que el dominio de $\nabla f$ (o $\vec{F}$ ) sea de conexión simple sólo garantiza que $f$ está globalmente bien definida (hasta la adición de constantes). De lo contrario, tenemos que preocuparnos de dónde se encuentra la curva.

Answer 2

Aquí puedo señalar el error. Este teorema sólo se aplica si $F$ es conservador. Por ejemplo, la gravedad es conservadora, pero la fricción no lo es (porque la fuerza depende de la trayectoria que se siga). Si esto es cierto podemos decir, $$\nabla F=G$$ Y que el derivado de la composición $F$ y $r(t)$ es... $${{dF} \over {dt}}= \nabla F(r(t)) \cdot r'(t)=G(r(t)) \cdot r'(t)$$ Afortunadamente, se descubrió que se trata de la integral de una línea... $$\int_C \nabla F \cdot dr= \int_C G(r) \cdot dr=\int_a^b G(r(t)) \cdot r'(t) \ dt=\int_a^b {{d F} \over {dt}} \ dt=F(b)-F(a)$$ Lo importante es recordar que la función debe ser conservadora. Puedes comprobarlo de forma intuitiva o verificarlo comprobando el rizo.