$n\ge n_0$ $1+z+z^2/2!+\dots z^n/n!$ todos los $0$'s $|z|>r$

Question

Necesitamos espectáculo $r>0$ existe $n_0$ que si $n\ge n_0$ $1+z+z^2/2!+\dots z^n/n!$ todos los $0$'s $|z|>r$

podría alguien ayudarme?

Yo estaba pensando en el uso del Teorema de Rouch, pero no es capaz de construir,$f(z),g(z)$$|f(z)|>|g(z)|,|z|>r$, de modo que $f,f+g$ tiene el mismo número de raíces fuera de $|z|>r$

Answer 1

Sin análisis complejo es necesario, sólo el hecho de que $f:z\mapsto\mathrm e^z$ no tiene ningún cero y que la convergencia de $f_n:z\mapsto\sum\limits_{k\leqslant n}\frac{z^k}{k!}$ $f$es uniforme en subconjuntos acotados.

Para cada $r$, $f_n$ converge uniformemente a $f$ sobre el disco cerrado $D(0,r)$. Desde $f$ es continua y no tiene ningún cero en $D(0,r)$, $|f|\geqslant2\varepsilon$ de manera uniforme en $D(0,r)$, para algunas de las $\varepsilon\gt0$. Y $|f_n-f|\leqslant\varepsilon$ uniformemente en $D(0,r)$ por cada $n\geqslant N(r,\varepsilon)$. Por lo tanto, para cada $n\geqslant N(r,\varepsilon)$ y cada $|z|\leqslant r$, $|f_n(z)|\geqslant|f(z)|-|f_n(z)-f(z)|\geqslant\varepsilon$, en particular,$f_n(z)\ne0$.