Considere la posibilidad de un campo escalar $\phi(x)$, y permitir a sus dos-función de punto deser $$ \frac{1}{p^2 m^2-\Pi(p^2)}=\int_0^\infty\mathrm d\mu^2\ \rho(\mu^2)\ \frac{1}{p^2-\mu^2} $$
Normalmente tenemos $\Pi(m^2)=0$, lo que implica que hay una partícula de estado con la masa de $m^2$. En términos de la densidad espectral, este lee $$ \rho(\mu^2)=\delta(\mu^2 m^2)+\sigma(\mu^2) $$ donde el apoyo de los $\sigma(\mu^2)$ está desconectado de $m^2$.
Por otro lado, la continuidad de la contribución normalmente comienza a $(2m)^2$, lo que significa que $\Pi(k^2)$ tiene una rama cortada de $(2m)^2$$\infty$. De nuevo, en términos de la función espectral, esto se escribe como $\text{supp}(\sigma)=[(2m)^2,\infty)$.
Mi pregunta
Yo esperaría que el primer obligado estado se encuentran cerca de $(2m)^2$, pero ligeramente por debajo, algo alrededor de $(2m)^2-\mathcal O(\alpha^n)$ donde $\alpha$ es la constante de acoplamiento y $n\in\mathbb N$. Por ejemplo, en una versión simplificada de la QED modelo, el estado unida a la de un electrón y un positrón tiene la energía de enlace $\sim 7\mathrm{eV}\sim m\alpha^2$, y así que yo esperaría que el punto de ramificación de estar en algún lugar alrededor de $(2m)^2-m^2\alpha^4$.
Sé que el valor de la auto-energía a un bucle, y el punto de ramificación es, de hecho, exactamente en $(2m)^2$. No sé dónde encontrar mayor bucle de correcciones, así que no se puede concluir si
1) a altas vueltas, el punto de ramificación se mueve un poco más cerca de $m^2$, o
2) se mantiene en $(2m)^2$.
Yo esperaría que el comportamiento correcto es 1), pero esto contradice el hecho de que todos los libros que he leído siempre representan el umbral de producción de par como un hyperboloid con su parte inferior sentado exactamente en $(2m)^2$. Por otro lado, si resulta que la opción correcta es la 2), estoy llevan a preguntarse por qué es teoría de la perturbación incapaz de predecir correctamente la posición del punto de ramificación (sé que esto es un problema sutil porque enlazados a los estados son, en cierta medida, la no-perturbativa de las entidades; pero AFAIK, perturbativa de los cálculos contienen una gran cantidad de información acerca de la enlazados a los estados).
