Polinomio de grado 5 tal que $P(x)-1$ es divisible por $(x-1)^3$ $P(x)$ es divisible por $x^3$

Question

$P(x)$ es un polinomio de grado 5 tal que $P(x)-1$ es divisible por $(x-1)^3$ $P(x)$ es divisible por $x^3$. Encontrar $P(x)$.

Ni idea de por dónde empezar, sería $P(x)$ ser de la forma $x^3(Ax^2+Bx+C)$?

Answer 1

Menos bashy de Parcly Taxel la respuesta:

Desde $P$ es divisible por $x^3$ $P-1$ es divisible por $(x-1)^3$, sabemos que $P'$ es divisible por $x^2(x-1)^2$. Desde $P'$ grado $4$, debe ser una constante múltiplo de este. Decir $P'(x)=Ax^2(x-1)^2=Ax^4-2Ax^3+Ax^2$.

A continuación, $P(x)$ es una antiderivada de este, es decir,$\frac{A}{5}x^5-\frac{A}{2}x^4+\frac{A}{3}x^3+B$. En $0$ esto es $0$ y a las $1$ esto es $1$, con lo que conseguimos $B=0$$\frac{A}{30}=1$. Por lo tanto $P(x)=\frac{30}{5}x^5-\frac{30}{2}x^4+\frac{30}{3}x^3=6x^5-15x^4+10x^3$.

Answer 2

La expansión de $(x-1)^3$ nos encontramos con que $$P(x)=(Ax^2+Bx+C)(x^3-3x^2+3x-1)+1$$ $$=Ax^5+(B-3A)x^4+(C-3B+3A)x^3+(-3C+3B-A)x^2+(3C-B)x-C+1$$ Sin embargo, también sabemos que $P(x)$ es divisible por $x^3$ y es de la forma $$Dx^5+Ex^4+Fx^3$$ La comparación constante, lineal y cuadrática coeficientes hemos $$1-C=0$$ $$3C-B=0$$ $$-3C+3B-A=0$$ y de estos tenemos $C=1$, $B=3$ y $A=6$ en orden. El resto de los coeficientes, $x^3$$x^5$, nos da los coeficientes de $P(x)$: $$D=A=6$$ $$E=B-3A=-15$$ $$F=C-3B+3A=10$$ En conclusión: $$P(x)=6x^5-15x^4+10x^3=(6x^2+3x+1)(x-1)^3+1$$

Answer 3

$P(x)=1+(ax^2+bx+c)(x-1)^3=1-(c+bx+ax^2)(1-3x+3x^2-x^3)$

$=1-c+x(3c-b)+x^2(-a+3b-3c)+x^3(\cdots)$

Necesitamos $1-c=3c-b=-a+3b-3c=0$