La ecuación que tiene que ser resuelto con logaritmos

Question

Necesito un poco de ayuda de cómo resolver estas ecuaciones para $x$. Creo que tengo uso de logaritmos, pero todavía no está seguro de cómo hacerlo, y estaría muy agradecido si alguien me pudieran explicar.

$x^2 \cdot 2^{x + 1} +2 ^{\lvert x - 3\rvert + 2} = x^2 \cdot 2^{\lvert x - 3\rvert + 4} + 2^{x - 1}$

$(x^2 - 7x + 5)^{x^2-2x-15} = 1$

Answer 1

Para el primero, puso como términos juntos.

$x^2 \cdot 2^{x + 1} +2 ^{\lvert x - 3\rvert + 2} = x^2 \cdot 2^{\lvert x - 3\rvert + 4} + 2^{x - 1}$

$x^2 \cdot 2^{x + 1}-x^2 \cdot 2^{\lvert x - 3\rvert + 4} =2^{x - 1}-2 ^{\lvert x - 3\rvert + 2}$

$x^2(2^{x + 1}-2^{\lvert x - 3\rvert + 4})= 2^{x - 1}-2 ^{\lvert x - 3\rvert + 2}$

Si $2^{x + 1}-2^{\lvert x - 3\rvert + 4}= 0$

A continuación, $2^{x+1} = 2^{\lvert x - 3\rvert + 4}$

$\log_2 2^{x+1} = \log_2 2^{\lvert x - 3\rvert + 4}$

$x + 1 = |x -3| +4$

$x-3 = |x-3|$ , lo que significa sencillamente $x \ge 3$.

Pero

$x^2(2^{x + 1}-2^{\lvert x - 3\rvert + 4})= 0 = 2^{x - 1}-2 ^{\lvert x - 3\rvert + 2}$

Por lo $2^{x - 1}= 2 ^{\lvert x - 3\rvert + 2}$

$\log_2 2^{x - 1}= \log_2 2 ^{\lvert x - 3\rvert + 2}$

$x - 1 = |x - 3| + 2$

$x - 3 = |x-3|$ así que ... otra vez $x \ge 3$ será una solución.

Así que eso es un conjunto de soluciones de $x \in [3,\infty)$.

Si $2^{x + 1}-2^{\lvert x - 3\rvert + 4}\ne 0$ $x < 3$ a pesar de que, a continuación, $|x - 3| = 3 -x$ y tenemos:

$x^2(2^{x + 1}-2^{\lvert x - 3\rvert + 4})= 2^{x - 1}-2 ^{\lvert x - 3\rvert + 2}$

$x^2(2^{x + 1}-2^{3-x + 4})= 2^{x - 1}-2 ^{3-x + 2}$

$x^2(2^{x+1} - 2^{7-x}) = 2^{x-1}-2^{5-x}$

$x^2 = \frac{2^{x-1}-2^{5-x}}{2^{x+1} - 2^{7-x}}$

$x^2 = \frac{2^{x-1}-2^{5-x}}{2^2(2^{x-1} - 2^{5-x})}$

$x^2 = \frac{1}{2^2}=1/4$

$x = \pm \frac 12$

Por lo $x \in \{\pm 1/4\} \cup [3, \infty)$.

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El número 2 es .... un poco inteligente.

Si $b^c = 1$ luego

i) $c = 0$

ii) $b = 1$

iii) $b = -1$ $c$ es una "incluso racional" (un número racional que cuando se expresa como un cociente de dos co-primer enteros tiene un numerador divisible por dos).

si i) $x^2 - 2x - 15 = 0$

$(x -5)(x+3) = 0$

por lo $x = 5$ o $x =- 3$

y tenemos $(x^2 - 7x + 5)^{x^2-2x-15} = (25 - 35 + 5)^{25-10 - 15} = (-5)^0 = 1$

o $(x^2 - 7x + 5)^{x^2-2x-15} = (9 + 21 + 5)^{9 + 6 - 15} = 35^0 = 1$

si ii)$x^2 - 7x + 5 = 1$

$x^2 - 7x + 4= 0$

$x = \frac{7\pm\sqrt{49 - 16}}{2}= \frac{7\pm\sqrt{33}}{2}$

si iii) $x^2 - 7x +5 = -1$

$x^2 -7x +6 = 0$

$(x - 1)(x - 6) = 0$

$x = 1, 6$

$1^2-2*1-15= -16$ es incluso y $6^2 - 2*6 - 15$ es impar.

Por lo $(x^2 - 7x + 5)^{x^2-2x-15} = (1 - 7 + 5)^{1-2 - 15} = (-1)^{-16} = \frac 1{1^{16}} = 1$

[Pero $(x^2 - 7x + 5)^{x^2-2x-15} = (36 - 42 + 5)^{36 - 12 -15} = (-1)^{9} = -1 \ne 1$ ]

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Todo esto es suponiendo que estamos considerando sólo los números reales.

Answer 2

Sugerencia: si

\begin{equation*} (x^2 - 7x + 5)^{\color{blue}{x^2 - 2x - 15}} = 1, \end{ecuación*}

¿qué piensa usted de $\color{blue}{x^2 - 2x - 15}$ es igual a?

Esta es solo una de las tres posibilidades. Para todos ellos, por favor, echa un vistazo fleablood la respuesta.

Answer 3

1) $2^{x-1}=a$ $2^{|x-3|+2}=b$ $$4ax^2+b=4bx^2+a\iff(4x^2-1)(a-b)=0$$ This gives $ x=\frac 12$ and $x\ge3$

2) Usted tiene dos posibilidades de $$x^2-7x+5=1\\x^2-2x-15=0$$

Answer 4

$$x^2 \cdot 2^{x + 1} +2 ^{\lvert x - 3\rvert + 2} = x^2 \cdot 2^{\lvert x - 3\rvert + 4} + 2^{x - 1}$$

Distingamos dos casos, $x\ge3$$x\le3$, para deshacerse del valor absoluto.

1. $x\ge3$:

$$x^2 \cdot 2^{x + 1} +2 ^{x-1} = x^2 \cdot 2^{x+1} + 2^{x - 1},$$, que es una identidad !

2. $x\le3$:

$$x^2 \cdot 2^{x + 1} +2 ^{5-x} = x^2 \cdot 2^{7-x} + 2^{x - 1}$$ que nos re-escribir $$\left(2x^2-\frac12\right)2^x=2^6\left(2x^2-\frac12\right)2^{-x},$$

de modo que $$x=\pm\frac12\text{ or }x=3.$$

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$$(x^2 - 7x + 5)^{x^2-2x-15} = 1$$

$a^b=1$ al $a=1$ o $a=-1\land\text{even}(b)$ o $b=0$, por lo que

$$a=0\to x=\frac{7\pm\sqrt33}2,$$ $$a=-1\to x=1\text{ or 6},$$ where $6$ debe ser rechazado como se produce un exponente impar, y $$b=0\to x=-3,5.$$

Answer 5

Para el segundo, usted debe comprobar cuando $$x^2-2x-15=0$$ o $$x^2-7x+5=\pm 1$$ También para $x^2-7x+5=- 1$ tienes que chekc si $x^2-2x-15$ es incluso